Question

设x,y,z都是正数，求证：2/(x+y)+2/(y+z)+2/(z+x)≥9/(x+y+z)。

Answer 1

证法一：
由柯西不等式，有：
［1/（x＋y）＋1/（y＋z）＋1/（x＋z）］［（x＋y）＋（y＋z）＋（x＋z）］≧（1＋1＋1）^2
∴2（x＋y＋z）［1/（x＋y）＋1/（y＋z）＋1/（x＋z）］≧9，
∴2/（x＋y）＋2/（y＋z）＋2/（x＋z）≧9/（x＋y＋z）。

证法二：
不失一般性，令x≦y≦z，则：1/（y＋z）≦1/（x＋z）≦1/（x＋y）。
由排序不等式：顺序和大于乱序和。有：
x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧x/（x＋z）＋y/（x＋y）＋z/（y＋z），
x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧z/（x＋z）＋x/（x＋y）＋y/（y＋z），
上述两式相加，得：
2［x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）］≧3，
∴x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧3/2，
∴［1＋x/（y＋z）］＋［1＋y/（x＋z）］＋［1＋z/（x＋y）］≧3/2＋3＝9/2，
∴（x＋y＋z）/（y＋z）＋（x＋y＋z）/（x＋z）＋（x＋y＋z）/（x＋y）≧9/2，
∴2/（x＋y）＋2/（y＋z）＋2/（x＋z）≧9/（x＋y＋z）。

Answer 2

令x≤y≤z
则1/（y＋z）≤1/（x＋z）≤1/（x＋y）
排序不等式：
x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≥x/（x＋z）＋y/（x＋y）＋z/（y＋z） ①
x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≥z/（x＋z）＋x/（x＋y）＋y/（y＋z） ②

①+②：2[x/(y＋z)＋y/(x＋z)＋z/(x＋y)]≥3

即：x/(y＋z)＋y/(x＋z)＋z/(x＋y)≥3/2
[1＋x/(y＋z)]＋[1＋y/(x＋z)]＋[1＋z/(x＋y)]≥(3/2)＋3＝9/2
∴(x＋y＋z)/(y＋z)＋(x＋y＋z)/(x＋z）＋(x＋y＋z)/(x＋y)≥9/2
即：2/(x+y)+2/(y+z)+2/(z+x)≥9/(x+y+z)

Answer 3

原式*(x+y+z) 在用公式