Question

(e^tanx-e^sinx)/(((1+x)^0.5)*(ln(1+x)-x))的极限

刚少打字了，(e^tanx-e^sinx)/(((1+x)^0.5-1)*(ln(1+x)-x))在x趋于0时的极限，谢谢

Answer 1

本题用等价无穷小代换，x→0
分子：e^(tanx)-e^(sinx)=e^(sinx)[e^(tanx-sinx)-1]等价于tanx-sinx （因为：e^u-1等价于u）
tanx-sinx=tanx(1-cosx)等价于(1/2)x³
因此分子等价于(1/2)x³

分母：(1+x)^0.5-1等价于(1/2)x
分母等价于(1/2)x[ln(1+x)-x]

因此：
原式=lim[x→0] x²/[ln(1+x)-x]
洛必达法则
=lim[x→0] 2x/[1/(1+x)-1]
=lim[x→0] 2x(1+x)/[1-1-x]
=lim[x→0] 2x(1+x)/(-x)
=-2

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Answer 2

求极限 x➔0lim[(e^tanx-e^sinx)/{[√(1+x)-1][ln(1+x)-x]}
解：原式=x➔0lim[(sec²x)e^tanx-(cosx)e^sinx]/{1/[2√(1+x)][1/(1+x)-1]}
=x➔0lim[(sec²x-cosx)e^x]/{-x/[2(1+x)^(3/2)]}
=x➔0lim[-2(sec²x-cosx)e^x](1+x)^(3/2)/x
=x➔0lim{-2[(2sec²xtanx+sinx)(e^x)(1+x)^(3/2)+(sec²x-cosx)(e^x)(1+x)^(3/2)+
+(sec²x-cosx)(e^x)(3/2)√(1+x) =0
【如果一开始就用等价无穷小x≈tanx，x≈sinx作替换，那么运算过程就大为简化：
原式=x➔0lim[(e^x-e^x)]/{[√(1+x)-1][ln(1+x)-x]}=0】

Answer 3

(1+x)^0.5-1≈x/2
ln(1+x)-x≈x-x²/2-x=-x²/2
故分母=-x³/4
分子e^tanx-e^sinx≈tanx-sinx
以上都是用泰勒。
原式=lim(x-->0)(tanx-sinx)/(-x³/4)
=lim(x-->0)(sinx-sinxcosx)/(-x³cosx/4)
=lim(x-->0)(1-cosx)/(-x²/4)
=-2