Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a、b属于R）满足：①f（4+x）=f（4-x）

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a、b属于R）满足：①f（4+x）=f（4-x）②对一切x属于R，都有f（x）小于或等于x
（1）求f（x） （2）设集合A=｛x属于R丨f（x）＞0｝ B=｛x属于R丨2x²-3（1+a）x+6a＜0｝，若A交B=B，求实数a的取值范围。

Answer 1

满足：①f（4+x）=f（4-x）

说明对称轴x= -b/2a =4,即 8a = -b
f（x）≤x

即ax²+x（b-1）≤0
对一切x属于R

即a＜0， △= （b-1）²≤0
即 b=1 ，可得 a= -1/8
f（x）= -1/8* x²+x
2）集合A=｛x属于R丨f（x）＞0
即 -1/8* x²+x＞0
解得 0＜x＜8
若A交B=B
当B是空集时，g（x）=2x²-3（1+a）x+6a
△= 9（1+a）²-48a= 9a²-30a+9=3（3a²-10a+3）≤0
即（3a-1）（a-3）≤0
1/3≤a≤3
当B不是空集时，g（x）=2x²-3（1+a）x+6a
g（x）在（0,8）小于0
只需满足△＞0，即 （3a-1）（a-3）＞0，a＞3或＜1/3
g（0）＞0，即 6a＞0，a＞0
g（8）＞0，解得 a＜ 52/9
可得 0＜a＜1/3或 3＜a＜52/9
取并集
综上 啊的取值范围是 (0,52/9)

Answer 2

1. 二次函数f（x）=ax²+bx（a、b属于R）满足：①f（4+x）=f（4-x），说明 图像关于x=4对称

   -b/2a=4,b=-8a---------1

   ②对一切x属于R，都有f（x）小于或等于x

   有： ax²+bx≤x , ax²+(b-1)x≤0

   -(b-1)^2/4a=0----------------2

   由1、2式 得：a=-1/8 ,b=1

   f（x）=-x²/8+x

2. f（x）＞0, 解得：0＜x＜8

   因为A交B=B，

   当B是空集时，令g（x）=2x²-3（1+a）x+6a

   △= 9（1+a）²-48a= 9a²-30a+9=3（3a²-10a+3）≤0

   即（3a-1）（a-3）≤0

   1/3≤a≤3

   当B不是空集时，g（x）=2x²-3（1+a）x+6a

   g（x）在（0,8）小于0

   只需满足△＞0，即 （3a-1）（a-3）＞0，a＞3或＜1/3

   g（0）≥0，即 6a≥0，a≥0

   g（8）≥0，解得 a≤ 52/9

   可得 0≤a＜1/3或  3＜a≤52/9

   取并集

   综上：a的取值范围是 [0,52/9]

    

Answer 3

1)由：①f（4+x）=f（4-x）得对称轴是x=4, b/-2a=4即8a+b=0
②对一切x属于R，都有f（x)≤x 即ax²+（b-1)x ≤ 0
Δ=(b-1)² ≤0
所以b=1从而a=-1/8
f（x)= -1/8x²+x
2)求集合A: 由f（x）＞0得0<x<8 所以 A=(0,8)
A交B=B可得B属于A, 即2x²-3（1+a）x+6a＜0的解集应在(0,8)内
令g(x)=2x²-3（1+a）x+6a
①若Δ≤0,此时B是空集满足条件
9(1+a)²-48a≤0 解得 1/3≤a≤3
②若Δ>0, g(x)=0的两根要落在(0,8)内
g(0)≥0 6a≥0
所以 g(8)≥0 即 104-18a≥0
0<对称轴<8 0<3/4(1+a)<8
结合Δ>0 解得 0≤a<1/3或3<a≤ 52/9
综上 0≤a≤ 52/9

Answer 4

﹙1﹚f(x)= ﹙ 2﹚1/3≤a≤3
(1)∵ f（4+x）=f（4-x）∴对称轴为x=4 ∴-b=8a∴ f（x）=ax²-8ax≤x ∴（8a+1）≤0 a=-1/8 ∴﹣1/8x²＋x
(2)由已知得B为A子集 ∴（1）B=∅ 即△≤0 1/3≤a≤3 (2) B≠∅∴△＞0 大根≤8 小跟≥0 无解 ∴1/3≤a≤3