求函数y=-x-4/x(x>0)的单调区间
(X2-X1)*(1-4/X1X2)当(1-4/X1X2)>0时,x1x2>4之后怎么做?还没学导数。。为什么后来的区间会出现根号?...
(X2-X1)*(1-4/X1X2)
当(1-4/X1X2)>0时,x1x2>4之后怎么做?
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解:y=f(x)=-x-4/x
设0<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=-x1-4/x1-(-x2-4/x2)=(x2-x1)-4(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)[1-4/(x1x2)]
x2-x1>0
当1-4/(x1x2)>0时,得x1x2>4,那么当x>2时,设2<x1<x2,便有
f(x1)-f(x2)=(x2-x1)[1-4/(x1x2)>0,得f(x1)>f(x2),f(x)单减;
当1-4/(x1x2)≤0时,得x1x2≤4,那么当0<x≤2时,设0<x1<x2≤2,便有
f(x1)-f(x2)=(x2-x1)[1-4/(x1x2)<0,得f(x1)<f(x2),f(x)单增。
故单增区间为(0,2],单减区间为(2,+∞)
如果此方法不理解,可以采用配方法:
y=-x-4/x=-(x+4/x)=-(√x-2/√x)^2-4
显然 ,当√x≤2/√x时,也即0<x≤2时,随着x增大,√x增大,2/√x减小,故其差√x-2/√x也增大,(√x-2/√x)^2减小,故-(√x-2/√x)^2-4增大,也即单增区间为(0,2]。
当√x>2/√x时,也即x>2时,随着x增大,√x增大,2/√x减小,故其差√x-2/√x也增大,(√x-2/√x)^2增大,故-(√x-2/√x)^2-4减小,也即单减区间为(2,+∞)。
设0<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=-x1-4/x1-(-x2-4/x2)=(x2-x1)-4(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)[1-4/(x1x2)]
x2-x1>0
当1-4/(x1x2)>0时,得x1x2>4,那么当x>2时,设2<x1<x2,便有
f(x1)-f(x2)=(x2-x1)[1-4/(x1x2)>0,得f(x1)>f(x2),f(x)单减;
当1-4/(x1x2)≤0时,得x1x2≤4,那么当0<x≤2时,设0<x1<x2≤2,便有
f(x1)-f(x2)=(x2-x1)[1-4/(x1x2)<0,得f(x1)<f(x2),f(x)单增。
故单增区间为(0,2],单减区间为(2,+∞)
如果此方法不理解,可以采用配方法:
y=-x-4/x=-(x+4/x)=-(√x-2/√x)^2-4
显然 ,当√x≤2/√x时,也即0<x≤2时,随着x增大,√x增大,2/√x减小,故其差√x-2/√x也增大,(√x-2/√x)^2减小,故-(√x-2/√x)^2-4增大,也即单增区间为(0,2]。
当√x>2/√x时,也即x>2时,随着x增大,√x增大,2/√x减小,故其差√x-2/√x也增大,(√x-2/√x)^2增大,故-(√x-2/√x)^2-4减小,也即单减区间为(2,+∞)。
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