Question

求证明！

Answer 1

先证明Ker(C)+Ker(D)是直和。
设Cx＝0，Dx＝0，则x＝Ex＝(AC+BD)x＝0，故结论成立。
注意到Ker(C)，Ker(D)都是Ker(CD)=Ker(DC)的子空间，因此有
Ker(C)+Ker(D)是Ker(CD)的子空间，即有
dim(Ker(C))+dim(Ker(D))<=dim(Ker(CD))，此即
n－r(C)+n－r(D)<=n－r(CD)。
由此有r(CD)<=r(C)+r(D)－n。
再注意到一个一般性的不等式：
r(CD)>=r(C)+r(D)－n（这个不等式在线代书上都有），
综上有r(CD)＝r(C)+r(D)－n。
对题目的结论，只需将条件等式转置一下即可。