Question

设函数f（x）=aˆx满足条件：当x∈（-∞，0）时，f（x）＞1；当x∈（0，1）时，不等式f（3mx-1）

设函数f（x）=aˆx满足条件：当x∈（-∞，0）时，f（x）＞1；当x∈（0，1）时，不等式f（3mx-1）＞f（1+mx-x²）＞f（m+2）恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

∵f(x)=a^x在(-∞，0)时，f(x)>1，∴a>1，∴指数函数是减函数。
由已知不等式恒成立得到：0≤3mx-1<1+mx-x²<m+2≤1恒成立。
由0≤3mx-1恒成立得：需要3m≥(1/x)的最大值，即3m≥1，解得m≥1/3；
由3mx-1<1+mx-x²恒成立得：需要2m<(-x²+2)的最小值，即2m≤1，解得m≤1/2；
由1+mx-x²<m+2恒成立得：需要m>(-x²-1)/(1-x)的最大值，即m≥(-0-1)/(1-0)=-1；
由m+2≤1恒成立：m≤-1；
综上所述：不存在

Answer 2

函数f(x)=a^x满足条件:当x∈(-∞,0)时,f(x)>1→0<a<1,
当x∈(0,1]时,不等式f(3mx-1)＞f(1+mx-x^2)恒成立→3mx-1<1+mx-x^2 的解集包含(0,1)
3mx-1<1+mx-x^2 → x^2+2mx-2<0
-m-√(m^2+2)≤0<x<1≤-m+√(m^2+2)
-m+√(m^2+2)≤0 → √(m^2+2)≥-m → m∈R (因为 √(m^2+2)>√m^2=|m|≥-m)
1≤-m+√(m^2+2) → √(m^2+2)≥1+m → m^2+2≥m^2+2m+1 → 2m≤1 → m≤1/2
令:g(x)=x^2+2mx-2, g(0)=-2<0 ,因此，只要，g(1)≤0，即可（观察利用二次函数的图像），
g(1)=1+2m-2<0 → m≤1/2

Answer 3

解：由题设f（x）=aˆx，当x∈（-∞，0）时，f（x）＞1

则0<a<1，该函数在R上为减
当x∈（0，1）时，当x∈（0，1）时，不等式f（3mx-1）＞f（1+mx-x²）＞f（m+2）恒成立
则3mx-1<1+mx-x²<m+2
且 0<3mx-1<1
0<1+mx-x²<1
0<m+2<1
然后把它们全解出来