Question

47的7385次方除以19的余数 过程+答案

Answer 1

解：16
这个要利用二项式定理
47^7385=(38+9)^7385
包含38的项都能被19整除，
只有9^7385不包含38，
即47的7385次方除以19的余数与9^7385除以19的余数相同
9^7385
=3^14770
=3^14760*3^10
=[(3^7)^5*3]^410*3^10
=[(2185+2)^5*3]^410*3^10
2185能被19整除，根据上面说的，
9^7385与[2^5*3]^410*3^10除以19的余数相同
[2^5*3]^410*3^10
=96^410*3^10
=（95+1）^410*3^10
95能被19整除，
所以96^410*3^10与1^410*3^10除以19的余数相同
3^10
=3^7*3^3
=（2185+2）*3^3
2185能被19整除，
所以（2185+2）*3^3与2*3^3除以19的余数相同
2*3^3=54
54除以19的余数是16，
所以47的7385次方除以19的余数是16

Answer 2

根据费马小定理
(a,p)=1，即a,p互素时有：
a^(p-1)≡1 (mod p)
对于本题 a=47,p=19
即 47^18≡=1 (mod 19)
而 7385=420*18+5
所以
47^4385≡47^5 (mod 19)
≡9^5
≡81*81*9
≡5*5*9
≡6*9
≡16 (mod 19)

Answer 3

47=38+9 由二项式定理得余数9