Question

求下列函数的n阶导数 y=x(x+1)(x+2)+......(x+n)

Answer 1

具体回答如下：

y=x^(n+1)+(1+2+3+.+n)x^n+.......(x+n)

y(n)=(n+1)!x+(1+2+...+n)n!

高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的，因此有必要研究高阶导数特别是任意阶导数的计算方法。

高阶导数计算：

只需根据一阶导数计算规则逐阶求导就可以了，但从实际计算角度看，却存在两个方面的问题：

（1）一是对抽象函数高阶导数计算，随着求导次数的增加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各阶求导过程中的中间变量。

（2）二是逐阶求导对求导次数不高时是可行的，当求导次数较高或求任意阶导数时，逐阶求导实际是行不通的，此时需研究专门的方法。

Answer 2

y=x^(n+1)+(1+2+3+....+n)x^n+......
y(n)=(n+1)!x+(1+2+...+n)n!

Answer 3

解 ：令g(x)=(x+1)(x+2).......(x+n),则：
y'=xg(x), 即 y=x'g(x)+xg(x)'=g(x)+xg(x)'
再令 h(x)=(x+2)......(x+n) 则 ：
g(x)=(x+1)h(x), 即 g(x)'=(x+1)'h(x)+(x+1)h(x)'=h(x)+(x+1)h(x)'
即 y'=g(x)+x(h(x)+(x+1)h(x)')
一次类推直至f(x)=(x+n)即可得到最终导数。
当x=0时，此时函数的导数即为y=n!.