Question

若已知a,b,c>0，则（a^2+b^2+c^2)/(ab+2bc)的最小值为多少？

Answer 1

用均值不等式(关键是凑形式)
a^2+b^2+c^2
=a^2+ 1/5b^2 + 4/5b^2 +c^2
≥2√5/5 ab+ 4√5/5bc
=2√5/5 (ab+2bc)

所以最小值是2√5/5,等号成立 c=2a，b=√5a
如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

求解什么是均值不等式，而且求教怎么用？请说详细点，谢了，我刚高三

追答

本题可以用基本不等式因为a,b,c>0，且满足前提一正二定三相等；不等式的内容技巧性很强，没碰到死活做不出，看了答案，发现原来这么简单的，所以你一定多做题，对一些方法要有一定的感觉
基本不等式主要是看两点，1）两个相乘代数式中和是否为定值
2）两个相加代数式积是否为定值如果不为定值，想办法看能不能凑出定值形式.
此题观察a^2+b^2+c^2和ab+2bc，发现ab与bc乘积的2倍（两项都出现了b），所以想到要把b拆开a^2+ 1/5b^2 + 4/5b^2 +c^2，这里最难了，你多见几回就能自己独立完成咯

Answer 2

均值不等式:a>0,b>0时, a²+b²>=2ab(当a=b时,取等号)
确实,用它是凑形式.
分母看有ab和2bc,它们的系数1和2不一样,考虑拆分-----5份,一个4份,另一个1份.
考虑都含有b, 只能拆分b²
解:由均值不等式得
a²+b²+c²=(a²+1/5b²)+(4/5b²+c²)>=2√5/5 ab+ 4√5/5bc=2√5/5 (ab+2bc)
(a=√5/5b, c=2√5/5b时,取等号)
∴原式>=2√5/5
故最小值是2√5/5 (a=√5/5b, c=2√5/5b时)