Question

◎高一[数学题]◎请求解答◎请求解答时思维严谨,条理清晰,详细透彻◎

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3)。
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式。
(2)若f(x)最大值为正数，求a的取值范围。

Answer 1

解：设f(x)=ax²+bx+c
f(x)>-2x解集为(1,3)
f(x)=-2x的解为1,3，图象开口向下，a<0
则f(1)=a+b+c=-2
f(3)=9a+3b+c=-6
b=-2-4a ①
c=3a ②
(1)f(x)+6a=0有两个相等的根，即f(x)+6a只有一个零点，也是对称轴与坐标轴的交点。
把对称轴点x=-b/2a 代入f(x)+6a=ax²+bx+c+6a=0
-b²/4a+c+6a=0
再与①②联立
a=1或者a=-1/5
因为a<0
a=-1/5
f(x)=-x²/5-6x/5-3/5
(2)f(x)最大值为正数，即函数的对称轴所在函数值为整数
f(-b/2a)=-b²/4a+c>0
把①②分别代入上式，
(a+2)²>3
a<-√3-2或者√3-2<a<0
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

Answer 2

设f（x）=ax²+bx+c,则f(x)+2x=ax²+﹙b+2﹚x+c＞0的解集为(1,3)

∴﹣﹙b+2﹚／a=1+3=4,c／a=1×3=3,a＜0

∴b=﹣4a-2,c=3a

∴f（x）=ax²-(4a+2)x+3a

∵f(x)+6a=ax²-(4a+2)x+9a=0有两个相等的根

∴△=(4a+2)²-36a²

=﹣20a²＋16a＋4=0
5a²-4a-1=0
(5a+1)(a-1)=0
∴a=-1/5（∵a＜0∴舍去a=1﹚

若f(x)=ax²-(4a+2)x+3a最大值为正数，则其顶点在x轴上方

∴△=(4a+2)²-12a²＞0

∴a²＋4a＋1＞0

∴a＜﹣2-√3或a＞√3-2
∵a＜0
∴a∈﹙﹣∞,﹣2-√3﹚∪﹙√3-2,0﹚

∴a＜-1/5

Answer 3

解:设二次函数f(x)=ax²+bx+c
∵不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3)。∴1 和3是方程ax²+bx+c=-2x的两根
∴a+b+c=-2 9a+3b+c=-6得b=-4a-2 c=3a
(1)∵方程f(x)+6a=0有两个相等的根∴ax²+(-4a-2)x+3a+9a=0的判别式为0
即(-4a-2)²-4a*12a=0, 化简得8a²-4a-1=0解得a=(1-根号3)/4或者(1+根号3)/4
∴f(x)=(1-根号3)/4x²+(-3+根号3)x+(3-3根号3)/4或者
f(x)=(1+根号3)/4x²+(-3+根号3)x+(3+3根号3)/4
(2)∵f(x)最大值为正数∴a<0且b²-4ac>0即(-4a-2)²-12a²>0整理a²+4a+1>0得a<-2-根号3或者a>-2+根号3 ∵a<0
故a<-2-根号3或者-2+根号3<a<0

Answer 4

函数f(x)的二次项系数为a，设：函数f(x)=ax^2+bx+c, 不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3)。a＜0，
(1,3）的两端点处不等式变成不等式得：b=-4(1+a), c=3a+2。
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，△=0，a=-1/2,a=4(不合，舍去)，
解析式f(x)=-1/2x^2-2x+1/2..
且不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3)。
(2)若f(x)最大值为正数，a＜0,，△＞0。得：a^2+6a+4＞0,
a＜-3-√5,，a＞-3+√5。

Answer 5

（1）f(X)+2x>0 解集为（1，3），则a<0，所以f(X)+2x=a（x-1）（x-3）
所以f（x）+6a=ax^2-（4a+2）x+9a 所以 Δ=0，得出a=-1/5
所以f（x）=-1/5x^2-6/5x-3/5
（2）因为 f(X)+2x=a（x-1）（x-3），所以f（x）=ax^2-（4a+2）x+3a
因为最大值为正数，所以a<0，只要Δ>0，最大值就为正数，得出a<-2-√3或0>a>√3-2