Question

问一个幂级数求收敛域的问题

问一个幂级数求收敛域的问题就是是不是求收敛域用lim（Un+1）/Un<1，来求，求端点是否收敛就用limAn/（An+1）<1来判断

Answer 1

首先比值判别法其实不限于正项级数(甚至可以是复数).
当|u[n+1]/u[n]|收敛于c < 1, 级数一定收敛.
因为此时∑|u[n]|收敛, ∑u[n]绝对收敛, 从而也收敛.
当|u[n+1]/u[n]|收敛于c > 1, 级数一定发散.
因为此时|u[n]|从某项起单调递增, u[n]不收敛到0, 级数发散.
对于幂级数∑a[n]·x^n, 可以取定x = b, 用上述比值判别法讨论x = b处的收敛性(数项级数).
(a[n+1]·b^(n+1))/(a[n]·b^n) = b·a[n+1]/a[n].
若|a[n+1]/a[n]|收敛到c, 则上述比值的绝对值收敛到|b|c.
因此级数对|x| < 1/c收敛, 对|x| > 1/c发散, 收敛半径就是1/c.
对于这道题来说, 可以用系数比值(n+1)!/n! → +∞得到收敛半径为0.
原理上就是对任意b ≠ 0, |((n+1!·b^(n+1))/(n!·b^n)| = (n+1)|b| → +∞.