Question

医用高等数学

当X趋近于0时，将下列函数与X比较，哪些事低阶无穷小，哪些是同届无穷小，哪些是等阶无穷小。
（1）In(1+x) (2)根号下（1+tanx)-根号下（1-sinx）
(3)arcsinx (4)arctanx (5)根号下（1+x^2)-1 (6)cscx-cotx
要比较详细的回答，好的再给50.

Answer 1

1.低阶无穷小的是:(5).
因为根号下（1+x^2)-1等价于1/2 *x^2,
故lim(1/2 *x^2)/x=lim1/2 *x=0.

2. 同阶无穷小的是:(1),(2),(3),(4),(6).
因为arcsinx等价于x,arctanx等价于x,In(1+x)等价于x.
故:(1),(3),(4)均为同阶无穷小，且是等价无穷小。
而lim[根号下（1+tanx)-根号下（1-sinx）]/x
(利用分子分母同时乘上根号下（1+tanx)+根号下（1-sinx）有理化后可求解)
=lim[1+tanx-(1-sinx）]/[x*((1+tanx)+根号下（1-sinx）)]
=lim(tanx+sinx)/[x*((1+tanx)+根号下（1-sinx）)]
=lim(tanx+sinx)/x *lim1/((1+tanx)+根号拍晌下（1-sinx）)
=lim(tanx+sinx)/x *1/2
=1/2lim(tanx/x+sinx/x)
=1/2 *(1+1)
=1
故森贺绝(2)是x的同阶无穷小，且是等价无穷小。
因为
lim(cscx-cotx)/x
=lim(1-cosx)/(x*sinx)
=lim(1-cosx)/(x^2)
=limsinx/2x
=1/2
故 (6)为同阶无穷此姿小。

3.等阶无穷小的是:(1),(2)(3),(4)。

Answer 2

首先说明原理：
l i m [ f(x) / x ] 该式为0，f(x)低阶；该式为1，f(x)等阶（同阶）；该式为常数（不等于1），同阶
x→0
由罗比达法则，上下同时求导，分母为1，所以只需考察上面导函数在0的取值即可。
（1）：显然是1，同阶，等阶
（2）：这个求出来很复杂，算出来也是1，同阶等阶
（3）：导函数1/√(1-x²)，同阶等阶
（4）：导函数1/（敬歼1+x²），同阶等阶
（5）：导函数x/√(x²+1)，0处得0，低阶
（6）：这个要用多亮冲冲次罗比达法则判卖，解得1/2，等阶
希望能帮到你~

Answer 3

亲，2楼回答的很好了 ，我没得发挥了哇