Question

已知如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）P是线段BC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值。
（只要第三题过程，其余两题不要做）
（在线等）

Answer 1

对我们来说，做了前面的才能做第三题吧。

1.
由y=x-3得
C（0，-3），B（3，0）
且A(-1,0)代入y=ax²+bx+c得
a=1,b=-2,c=-3
所以y=x²-2x-3

2.
对称轴是x=1所以顶点是(1,-4)【因为y=x²-2x-3=(x-1)²-4】

3.
做出的平行线特征是X=X(p)
设P(x,x-3)【因为P在直线上，所以Y=X-3】
那么X(E)=X(P)=x
代入函数得Y(E)=x²-2x-3
由图知,0<x<3,Y(E)<Y(P)
所以PE=-[Y(E)-Y(P)]=Y(P)-Y(E)
就是P的y值减去E的y值
PE=x-3-(x²-2x-3)=-x²+3x【x在（0,3）】
所以x=1.5时（对称轴）PE最大，为2.25

Answer 2

(1)抛物线的解析式为y=x²-2x-3
(2)抛物线的顶点坐标是(1,-4)
(3)|PE|=|yP-yE|=|x-3-x²+2x+3|=|x²-3x|
∵交点B、C的坐标为(3,0)、(0,-3)
∴0<x<3
∵x²-3x=(x-3/2)²-9/4
∴x=3/2时,|x²-3x|有最大值9/4
线段PE长度的最大值是9/4