Question

已知二次函数y=x²-2(m-1)x+2m²-2 数学难题，求解，急！

已知二次函数y=x²-2(m-1)x+2m²-2
（1）证明：不论x为何值，二次函数的图像顶点均在某一次函数图像上并求出此图像的解析式;
(2若二次函数图像在x轴上截得的线段长为2倍根号3，求此二次函数的解析式

Answer 1

（1）化简函数式：
y=x²-2(m-1)x+( m2-2m+1)+2m²-2-( m2-2m+1)
= x²-2(m-1)x+(m-1) 2+2m²-2-( m2-2m+1)
= [x - (m-1)]² + m² + 2m -3
对二次函数y=ax²+bx+c来说，当a大于零时，函数有最小值，为函数图象顶点。
对于本函数来说， [x - (m-1)]² 时函数有最小值，所以顶点横为m-1，纵坐标为m² + 2m -3。
也就是说，二次函数的顶点始终在（m-1，m² + 2m -3）。
随着m的值的变化，该顶点位置也在变化中，根据顶点坐标，可知该顶点纵坐标y1（即m² + 2m -3）和横坐标x1（即m-1）的关系为：y1=（x1+2）²-4
所以原二次函数的图像顶点始终在二次函数图像上。（不是一次函数，是二次函数。）

（2）设图像与x轴交点横坐标分别为X1，X2，X2>X1。则线段长2倍根号3即X2-X1=2倍根号3。
根据韦达定理：一元二次方程 aX^2+bX+C=0(a不等于0)
方程的两根X1,X2和方程的系数a,b,c就满足X1+X2=-(b/a），X1*X2=c/a
X1+X2=2(m-1) ；X1*X2= 2m² -2
进而(X2-X1)²=(X1+X2)²-4X1*X2
12=4(m-1)²-8m²+8
0=-4m²-8m
即m²+2m=0，解方程得m1=0，m2=-2。
带入原解析式，可知当二次函数图像在x轴上截得的线段长为2倍根号3时，函数解析式为：
y = x² + 2x - 2或 y = x² + 6x + 6

Answer 2

(1)
y=x²-2(m-1)x+2m²-2
=x²-2(m-1)x+m²-2m + 1 + m² + 2m -3
= x²-2(m-1)x+ (m-1)² + m² + 2m -3
= [x - (m-1)]² + m² + 2m -3
顶点(m-1, m² + 2m -3)
令x = m -1, y = m² + 2m -3
m = x+1
y = (x+1)² + 2(x+1) -3
= x² + 4x
此为抛物线，题有问题。

(2)
设交点为A(a, 0), B(b, 0)
a, b为x²-2(m-1)x+2m²-2 = 0的两个解
a+b = 2(m-1), ab = 2m² -2
(a-b)² = (a+b)² - 4ab
= 4(m-1)² -4(2m² -2)
= 4(m² -2m + 1 - 2m² + 2)
= 4(-m² -2m + 3) = (2√3)² = 12
m² + 2m = 0
m = 0或m = -2
m=0: y = x² + 2x - 2
m = -2: y = x² + 6x + 6

Answer 3

一次函数：Y=(m+3)x
二次函数：y= x²-6x+6 y=x²+2x-2
不知道对不对

第一问，求极值点 极小值（x=m-1 y=（m+3）（m-1））故得一次函数系数k=m+3
第二问；首先Δ>0,得 -3<x<1
其次x1-x2=2倍根号3 求得x=0或-2 符合

Answer 4

不论x为何值，二次函数的图像顶点均在某一次函数图像上

这有问题吧,二次函数的顶点是不会随x而改变的吧.

y=x² + 4x
y=x(x+ 4) 代入x+1=m

y=(m+3)x 这不管m为何值,也是一次函数.

Answer 5

感觉有地方打错了啊