Question

已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(1/2)=1,且对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy)成立，又数列

｛an｝满足a1=a，an+1=2an/（1+an^2），设bn=1/f(a1)+1/f(a2)+...+1/f(an)
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(1/2)
（2）证明数列｛f(an)}是等比数列，并求f(an)的表达式和limbn的值
（3）是否存在m属于N*，使得对任意n属于N*，都有bn＜（m-8）/4成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

一,
想要得到 f(t) = 2f(1/2), 虽然知道f(1/2) = 1, 但这个信息似乎用不上.
那么还有一个信息, 那就是f(x) - f(y) = f(x - y/1 - xy)
我们怎么想办法利用这个呢.

由f(t) = 2f(1/2)可以构造
f(t) - f(1/2) = f(1/2)
是不是有感觉了?
那么我们就要构造好一个x一个y, 使得f(x) - f(y) = f(x - y/1 - xy).
显然y = 1/2, 且x - y/1 - xy = 1/2
那么x = 4/5
验证一下
f(x) - f(y) = f(x - y/1 - xy)
f(4/5) - f(1/2) = f[(3/10)/(6/10)] = f(1/2)
那么f(4/5) = 2f(1/2)

二, 第二问比较棘手, 不知从哪里下手, 数列本身的表达式an + 1 = 2an/（1 + an^2）, 要求an的表达式似乎不太可能.这就疑惑了.

但是f(x) - f(-x) = f(2x/1 + x^2)
这个右边是不是有点类似数列的那个式子?

好了, 可以下手了,
首先, an + 1 = 2an/(1 + an^2), an + 1一定在(-1, 1)范围内, 这个不解释, 你这个要不知道, 请复习初中数学
因为f(x) - f(y) = f(x - y/1 - xy)
那么也有f(y) - f(x) = f(y - x/1 - xy)
令x - y/1 - xy = t
由上面两个式子可以知道f(t) = -f(-t)
f(x)是奇函数
那么f(x) - f(-x) = f(2x/1 + x^2)
有2f(x) = f(2x/1 + x^2)
可以知道2f(an) = f(an + 1)
那么f(an)是等比数列,公比是2
至于求bn, 这个用a1和算出来的公比就可以求出, 我不再多说

三, 百度知道字数有限制, 你加我qq, 281600880, 我跟你qq说