Question

在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c。

(1)若a=5,b=10，求sinA,cosA,sinB,cosB.
(2)若b=3，c=3倍根号2，求sinA,cosA,sinB,cosB.
(3)通过（1）（2）我们不难发现一个规律：sin²A+cos²A=1，请你利用所学知识来证明这一规律。
(4)由（1）（2）的计算你还发现了什么？并用语言描述。
(5)尝试解决下列问题：
①若sinα+cosα=3/2，求sinα·cosα
②∠A为锐角，化简根号sin²A+2cos²A-2cosA

Answer 1

(1) a = 5, b=10, 勾股定理c= 5*根号5
sinA=a/c = 根号5/5, cosA = b/c = 2*根号5/5
sinB = b/c = 2*根号5/5, cosB=a/c = 根号5/5
(2) b=3, c= 3*根号2, 勾股定理 a = 3
sinA=cosA=sinB=cosB = 根号2/2
(3) sin²A+cos²A = (a/c)^2 + (b/c)^2 勾股定理 a^2+b^2=c^2因此有 (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1
(4) sinA/a = sinB/b = sinC/c
(5) 由(3)的结论，两边平方有 1 + 2sina*cosa = 9/4 ==> sina*cosa =5/8
sin²A+2cos²A-2cosA = 1 + cos^2 A-2cosA = (1-cosA)^2
因此根号sin²A+2cos²A-2cosA = 1-cosA

Answer 2

（1）则c=5√5，sinA=√5/5,cosA=2√5/5,sinB=2√5/5,cosB=√5/5
(2)则a=3，sinA=cosA=sinB=cosB=√2/2
(3)∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c,sinA=a/c,cosA=b/c,a²+b²=c²
sin²A+cos²A=a²/c²+b²/c²=c²/c²=1
(4)在△ABC中，若∠C=90°,sinA=cosB（一个角的余弦=它的余角的正弦）
（5）①sinα+cosα=3/2，（sinα+cosα）²=9/4，2sinα·cosα=5/4,sinα·cosα=5/8
②sin²A+2cos²A-2cosA=cos²A-2cosA+1=（cosA-1）²
根号sin²A+2cos²A-2cosA=|cosA-1|=1-cosA