Question

线性代数：请教向量中的一道问题

5.13题中选项A,C为什么不可以？因为前一个向量组秩为m，如果可以用后面的向量组表出的话，后者的秩也为m，那么应该可以作为充分与必要的条件呀。

Answer 1

A.若A可由B表出，说明B中存在无关线性组，但不一定数量刚好为m，只能说B有可能无关，因为无关组数量可能小于m。
C.若A B互相表出，则B一定是无关的。
反过来说若B无关，则不一定表明A B互相表出，春芦因为n维空间需凯森谈要n个基底， A B都是m<n，所以m个基底不一定表出所有n维向量，不能构成充分条件。盯碰
对于D，矩阵等价，则矩阵一定是互相表出的，矩阵等价定义就是存在可逆阵P 有A=PB B=P^-1A

追问

对于选项A，前者无关可以理解为秩是m，A可由B表出，说明B的秩不小于A，那因为m<n，应该可以确定B的秩就是m吧，如果B的无关线性组不是m，怎么可以表出一个秩为m的向量组呢？
对于C，我有一个类似的疑问，假设都是m个n维向量（m<n），向量组Q与向量组P的秩都为m，它们的矩阵是同型的，那么是不是可以说Q与P可以相互表出了？如果不能，可以举个例子吗？

追答

表出和秩是两回事。

秩不满只要表出相关向量是可以的。

对于C你说的，只有等价才可以表出，不是所有等秩都互相表出。因为可能存在无解，增广矩阵可能无解。

不是相同行变换，非齐次方程组不一定得到等秩增广矩阵和齐次矩阵。

追问

本人水平不高，问的多了 希望你能理解。
不是说 若A可以由B表出，那么B的秩一定不小于A吗？ A选项难道不能确定向量组B的秩为m？

追答

对，这句话也没问题。但是反过来不对的，当B无关，并不确定A一定由B表出。

等秩，但都不是满秩，在不知道等价时，不能说一定表出。

追问

也就是说 A向量组的秩为m的时候，也不叫做满秩，只有行和列都是满秩的时候，才可以确定可以相互表出，是这样吗？我理解错误是因为A的行并不是满秩？

追答

对，A只有是n才是满秩，在矩阵里面，最小秩是m,实际列是n，所以A不满。这是它固有形式决定的，只有m个。广义来说，他还有n-m个全为0的行，构成n*n向量空间。

追问

最后一次追问哈，是不是只有两个秩相等都是满秩的向量组，就可以在不知道它们是否等价的时候就确定它们是互相表出并等价的？像题目中的反例你能帮我想出一个吗？不容易想也没关系的，谢谢你耐心解答，非常感谢。

追答

对的，任何阶数相同的满秩向量都可以互相表出。

Answer 2

好难………