Question

关于无穷大（极限）的问题

设x→a时，f(x)→∞，g(x)→∞，则下列各式中成立的是：
A．f(x)+g(x)→∞
B．f(x)-g(x)→0
C．1/[f(x)+g(x)]→0

D．1/[f(x)]→0

书后答案是D，为什么A和C不对？

Answer 1

其实这跟无穷大的相加、相减、相乘、相除有关。例如n是正整数，如果n→∞，那么2n→∞，n^2→∞，2^n→∞，n^n→∞，各函数的极限虽然都是无穷大，但是它们真的是一样大小的吗？
所以有无穷大量的性质：
　　1.两个无穷大量之和不一定是无穷大；（即∞+∞）

　　2.有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（例如0×∞ ）；

　　3.两个无穷大量之积一定是无穷大。 （即∞×∞）

　　4.不是无穷大量不一定就是有界的（里如，数列1，1/2，3，1/3，……极限既不是无穷大，也不是绝对值在某个分为内）。

Answer 2

　两个无穷大量之和不一定是无穷大（即无穷大减无穷大），也可能是零，所以A不对；

既然可以是零，它的倒数可能是无穷大，所以C也不对。