Question

高等数学证明题求解

f(x)在闭区间[a,b]上有二阶导数f''(x)
f'(a)=f'(b)=0
证明：（a,b）上至少有一点ε，使得If''(ε)I≥（4If(b)-f(a)I）/(b-a)²

Answer 1

将f(x)分别在x=a和x=b处泰勒展开，得：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(m)/2*(x-a)^2
=f(a)+f''(m)/2*(x-a)^2，其中m∈(a,x)
f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+f''(n)/2*(x-b)^2
=f(b)+f''(n)/2*(x-b)^2，其中n∈(x,b)
两式相减，得：f(b)-f(a)+f''(n)/2*(x-b)^2-f''(m)/2*(x-a)^2=0
令x=(a+b)/2，得：f''(n)/8*(b-a)^2-f''(m)/8*(b-a)^2=f(a)-f(b)
[f''(m)-f''(n)]/2=4[f(b)-f(a)]/(b-a)^2
|f''(m)-f''(n)|/2=4|f(b)-f(a)|/(b-a)^2
令|f''(ε)|=max{|f''(m)|,|f''(n)|}，即ε=m或者n∈(a,b)
则4|f(b)-f(a)|/(b-a)^2=|f''(m)-f''(n)|/2<=[|f''(m)|+|f''(n)|]/2<=[2|f''(ε)|]/2=|f''(ε)|
证毕