Question

集合A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)]=x},求证集合A等于集合B

集合A属于集合B易证 求证集合B属于集合A ——QAQ急！！！
抱歉漏了条件：f(x)是单调增函数

Answer 1

不可能啊，设集合C={x|f(x)=-x}，那么同样有f[f(x)]=-（-x）=x成立。因此C={x|f(x)=-x}中的元素同样是
B={x|f[f(x)]=x}中的元素，但是C={x|f(x)=-x}中的元素除了x=0这样的特例，一般不属于A={x|f(x)=x}。所以B集合中有不属于A集合的元素，两个集合不相等。

如果加上条件：f(x)是单调增函数，就能用反证法证明了。
假设B={x|f[f(x)]=x}有元素不属于A={x|f(x)=x}，那么我们可以找到有元素a有f（f（a））=a成立，
但是f（a）=b≠a。
那么当a<b时，有a=f（f（a））=f（b），这是得到f（a）=b>f（b）=a这个f(x)是单调增函数矛盾，所以当a<b时，假设不成立。
同理当a>b时，也能证明假设不成立。所以当B成立的时候，A也成立，B属于A。

Answer 2

解答：
这个是证明不出来的。
即只能证明出A包含于B
证明如下：
如果a∈A
则a=f(a)
∴f[f(a)]=f(a)=a
∴a∈B
即a的元素一定是B的元素
∴A包含于B

不能证明 B包含于集合A
应该还有别的条件，
f(x)是单调函数，增函数，减函数都可以的。
下面可以使用反证法(增函数)
设 a∈B
则 f[f(a)]=a
假设 f(a)≠a
（1）f(a)>a
则 a=f[f(a)]>f(a)
两者矛盾
（2） f(a)<a
a=f[f(a)]<f(a)
两者矛盾
综上，假设不成立
∴ f(a)=a
即 B 包含于A
∴ B=A

Answer 3

设集合B={x|f[f(x)]=x},又设p为B中的任一元素。我们设函数f(x)的定义域为Q，Q中不包含数字0.
则f[f(p)]=p根本推不出B包含于A。理由是，比如，函数f(x)= 1/x.则f[f(p)]=p成立，就不会一定得到f(x)=x.，还可是f(x)=1/x.等等。所以我感觉此题目有问题。
注：集合A的语言叙述就是：【我们把Q中 所有自变量等于函数值的 自变量的集合（也恰好就是Q）叫做集合A】。
集合B的语言叙述就是：【我们把Q中 所有的自变量的 函数值的函数值恰等于自变量的集合叫做集合B】。
这样来说，或许我们就清楚A是B的真子集。
所有我们感觉题目有点“欠推敲”。
f(x)是单调增函数也不行。就说在正实数集，一个是y=x。一个是y=(1/x).等等都会满足B的。未必会必须满足A。

Answer 4

x属于R
f(x)属于R（A属于R）
f[f(x)]也属于R(B属于R)
所以A=B