Question

已知f(x)=x^2,试写出函数y=f(x^2-2x-3)的单调区间

Answer 1

y=f(x^2-2x-3)为复合函数，是y=f(t)和t=x^2-2x-3两个函数的复合。
由题意，y=f(t)=t^2在负无穷到0上单调递减，在0到正无穷上单调递增。
t=x^2-2x-3是二次函数，两个根为-1和3，x>=3时，t>=0且单调递增；1=<x<3时，t<0且单调递增；-1<x<1时，t<0且单调递减；x<=-1时，t>=0且单调递减。
分情况讨论：
x>=3时，t>=0，y=f(t)单调递增，t=x^2-2x-3单调递增，因此y=f(x^2-2x-3)单调递增。
1=<x<3时，t<0，y=f(t)单调递减，t=x^2-2x-3单调递增，因此y=f(x^2-2x-3)单调递减。
-1<x<1时，t<0，y=f(t)单调递减，t=x^2-2x-3单调递减，因此y=f(x^2-2x-3)单调递增。
x<=-1时，t>=0，y=f(t)单调递增，t=x^2-2x-3单调递减，因此y=f(x^2-2x-3)单调递减。
综上，y=f(x^2-2x-3)在(-∞,-1]和[1,3)上单调递减，在(-1,1)和[3,+∞)上单调递增。

Answer 2

解答：
利用复合函数的单调性
t=x²-2x-3=(x-1)²-4
在[1,3]上递增，且t≤0，在[3,+∞)上递增，且t≥0
在[-1,1]上递减，且t≤0，在(-∞,-1]上递减，且t≥0
y=t²在[0,+∞）上递增，在（-∞，0]上递减，
利用同增异减原则。
y=f(x^2-2x-3)的单调增区间[3,+∞)和[-1,1]
单调减区间(-∞，-1]和[1,3]

Answer 3

求导啊
y'=f'(x^2-2x-3)
=(x^2-2x-3)^2
=2(x^2-2x-3)*(2x-2)
令y'>0,得x>3或-1<x<1
所以，函数y=f(x^2-2x-3)的单调增区间
[-1,1和[3,+∞)
函数y=f(x^2-2x-3)的单调减区间
(-∞，-1]和[1,3]