Question

如图所示，△ABC中,AB是圆O的直径,AC和BC分别和圆O相交于点D和E,在BD上截取BF=AC,延

如图所示，△ABC中,AB是圆O的直径,AC和BC分别和圆O相交于点D和E,在BD上截取BF=AC,延长AE使AG=BC。求证：CG=CF，CG⊥CF

Answer 1

因为AB是直径，故角ADB=90，角AEB=90，三角形AEC与三角形BDC相似，所以角CAE=角CBD
三角形AEC与三角形BEF3个角分别相等，还有一边BF=AC，所以三角形AEC与三角形BEF全等。
所以BE=AE，EF=CE.
又BC=AG，故CE=EG,所以三角形CEG和三角形CEF都是直角等腰三角形，且全等。
所以CG=CF，CG与CF垂直。证毕。

Answer 2

证明：
∵直径AB
∴∠AEB＝90
∴∠CEG＝∠AEB＝90
∴∠G+∠BCG＝90
∵∠CAG、∠DBC所对应圆弧都为劣弧DE
∴∠CAG＝∠DBC
∵BF＝AC，AG＝BC
∴△ACG≌△BFC （SAS）
∴CG＝CF，∠BCF＝∠G
∴∠GCF＝∠BCF+∠BCG＝∠G+∠BCG＝90
∴CG⊥CF因为AB是直径，故角ADB=90，角AEB=90，三角形AEC与三角形BDC相似，所以角CAE=角CBD
三角形AEC与三角形BEF3个角分别相等，还有一边BF=AC，所以三角形AEC与三角形BEF全等。
所以BE=AE，EF=CE.
又BC=AG，故CE=EG,所以三角形CEG和三角形CEF都是直角等腰三角形，且全等。
所以CG=CF，CG与CF垂直。证毕。