Question

九年级上册数学书第88页第11,12题答案

11题： A,B是圆心O上的两点，<AOB=120°，C是弧AB的中点，求证四边形OACB是菱形。

Answer 1

证明：因为点C是弧AB的中点，
所以弧AC＝弧BC
所以角AOC＝角BOC＝二分之一乘角AOB＝60度，AC＝BC
又因为OA＝OC＝OB
所以三角形AOC和三角形BOC都是等边三角形（理由：有一个角60度的等腰三角形就是等边三角形）
所以OA=AC=OC=OB=BC
所以四边形OACB是菱形。（理由是：四条边都相等的四边形是菱形）

Answer 2

题目中C是短弧AB的中点
证明：因为 C是弧AB的中点
所以 弧AC=弧BC
所以 AC=BC ∠AOC=∠COB （在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 ）
又 ∠AOB=120°
所以 ∠AOC=∠COB=60°,大角∠AOB=240°
所以 ∠ACB=120° （在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角）
又 CO=CO
所以 △AOC=△BOC （边角边）
所以 ∠OAC=∠CBO=60
所以 △AOC和△BOC是等边三角形
所以 AO=BO=AC=BC
所以 四边形OACB是菱形。
证毕

注意运用圆心角的性质及相关定理推论和菱形的判定定理

Answer 3

∵AO=BO=CO ∠AOB=120 C是弧AB中点
∴∠AOC=∠BOC=60=∠OAC=∠ACO=∠OCB=∠OBC
∴∠A=∠B=60 ∠ACB=∠AOB=120
∴OACB是菱形

Answer 4

菱形

Answer 5

证明：∵<AOB=120°
又∵C是弧AB的中点

∴<AOC=<COB =60°
有因为 AO=OC 所以 ∴<A =ACO=（180° -60° ）/2=60°
∴<AOC= <ACO
∴AC=AO
同理 BC =BO
∵AO=BO
∴AC=AO= BC =BO
∴四边形OACB是菱形