Question

高等数学 导数问题

f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为
A. lim(1/h^2)f(1-cosh),h→0 存在 B. lim（1/h）f(1-e^h),h→0 存在
C. lim(1/h^2)f(h-sinh),h→0 存在 D. lim(1/h)[f(2h)-f(h)],h→0 存在
我知道导数公式为 【f（x）-f（0）】/x-0
请问怎么用这个公式做？请高人详解，感激不尽

Answer 1

1.这几个条件都是必要的 2.D不可能,没有f(0).AC分母是h^2,最多有右导数。B:设x=1-e^h,
limf(1-e^h)/h =lim[(1-e^h)/h]f(x)/x
=-limf(x)/x存在，即f'(0)存在

追问

lim[(1-e^h)/h]f(x)/x这个是什么意思，为什么要乘在一块

追答

要符合导数的定义：f'(0)=lim(f(x)-f(0))/(x-0)=limf(x)/x
limf(1-e^h)/h (分子分母同乘以1-e^h）
=lim[(1-e^h)/h][f(1-e^h)/(1-e^h)]
=-lim[f(1-e^h)/(1-e^h)]
=-limf(x)/x （x=1-e^h有正有负）

Answer 2

选第 4个
第一个中1-cosh~(h^2)/2 (h->0)
(2)1-e^h~ -h (h→0)
(3)h-sinh~(X^3)/3 (h→0)
(4)=2f(2h)/(2h) -f(h)/h (h→0)
=2f'(0)-f'(0)=f'(0)

追问

答案选的B 第四个在零点不一定连续。