Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过D作DF⊥AC于点F。

（1）求证：DF为圆O的切线；
（2）若DE=√5，AB=5，求AE长。
第一问我会做，主要问题是第二问。希望各位数学高手指点！

Answer 1

∵DF是圆O切线,
∴<EDF=<DAE,(同弧圆周角和弦切角相等),
∵<DFC=90°,
∴<FDC=90°-<C,
∵<ADB=90°,(半圆上圆周角是直角),
AB=AC,
∴AD是<BAC的平分线,(三线合一)
∴<ADC=90°,
∴<DAC=90°-<C,
∴<FDC=<DAE=<EDF,
∵DF⊥CE,
∴△DFE≌△DFC,
∴DC=DE=√5,
∴BD=CD=√5,
∴根据勾股定理,AD^2=AB^2-BD^2,
∴AD=2√5,
S△ADC=AD*CD/2=5,
S△ADC=AC*DF/2=5DF/2,
∴5DF/2=5,
∴DF=2,
EF^2=DE^2-DF^2=5-4=1,
∴EF=1,
∴CE=2EF=2,
∴AE=AC-CE=5-2=3.

Answer 2

联结AD,则AD⊥BC,且BD=DC,
DC=DE=√5
△ABD∽△DEF
AB/DE=BD/EF
EF=1
EC=2
AE=AC-EC=5-2=3

追问

不好意思我们还没学相似，我不懂相似。

追答

联结AD,BE,则AD⊥BC,BE⊥AE,即BE∥DF
且BE=2DF
DC=DE=√5, AD=2√5
设DF=X
则：EF^2=5-X^2
AF^2=(2√5)^2-x^2=20-x^2
DF^2=EF*AF(切割线定理）
X^2=√(5-x^2)*√(20-x^2)
x^4=x^4-25x^2+100
x^2=4
x=2,
BE=4
AE^2=AB^2-BE^2
AE=3

追问

我们也没学过割线定理……还有什么方法吗？