Question

求关于矩阵的解题思路啊，只要思路，不要解。

1。设向量组a1，a2……a3线性无关，求 a1 -a2 ，a2 - a3，a3 - a1的一个最大无关组。

2.设A，B为他同型矩阵，证明如下常用不等式： R（A+B）<= R（A）R（B）。

3.设A，B均为有m行的矩阵，证明：

max{R（A）,R（B）} <= R 【 (A,B) 】<= R（A）+R（B）

Answer 1

（1）采取逐个添加法，先选一个看是否为零向量，若为零向量则舍去，再找一个进行判别；若不为零向量，再从其余向量中找非零向量使其与原有的向量线性无关，一直进行此步骤直至多有向量被取遍，所得到的向量组即为所要的。
本题中，任意两个给出的向量线性无关；而三个向量之和为零，故线性相关。故任意两个向量为最大线性无关组
（2）取A的列向量的极大无关组α1，α2，...，αr；B的列向量的极大无关组β1，β2，...，βn，合成一个向量组α1，α2，...，αr，β1，β2，...，βn
那么A+B的列向量都可由该向量组线性表出，即r(A+B)≤r+s=r(A)+R(B)，得证
（3）左边的不等号这样证：
由于A的列向量都可由[A B]的列向量线性表出，故r(A)≤r([A B])，同理r(B)≤r([A B])，故左侧不等号成立；
对于右侧不等号，
取A的列向量的极大无关组α1，α2，...，αr；B的列向量的极大无关组β1，β2，...，βn，合成一个向量组α1，α2，...，αr，β1，β2，...，βn，则向量组的秩小于r+n（因为本向量组未必线性无关）
由于[A B]的列向量都可以由该向量组线性标出，
故r([A B])≤r(α1，α2，...，αr，β1，β2，...，βn)≤r+n=r(A)+r(B)得证