Question

已知：如图，等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），

过点P作，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；
（3）当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）

Answer 1

(1)由等边三角形的性质和已知条件不难得出BE=x/2,则EC=2-x/2，FC=EC/2=1-x/4,

AF=2-FC=1+x/4,AQ=1/2+x/8，即y=1/2+x/8

(2)由题意得当x+y=2时，PQ重合，即1/2+x/8+x=2，解得x=4/3

(3)设线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长为W，则有3√3/2≤W≤2√3

Answer 2

1、∵△ABC是等腰三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2
∵PE⊥BE，∠B=60°
∴∠BPE=30°
∴BE=1/2BP=1/2X
∴EC=BC-BE=2-1/2X
同理EF⊥AC，∠C=60°
FC=1/2EC=1/2(2-1/2X)=1-1/4X
∴AF=AC-FC=2-1+1/4X=1+1/4X
同理FQ⊥AB，∠A=60°
∴AQ=1/2AF=1/2(1+1/4X)=1/2+1/8X
∴Y=1/2+1/8X
2、当BP的长等于多少时，点P与点Q重合
那么X+Y=2
Y=1/2+1/8X
解：X=4/3
3、y=AQ=1+x/8
当x+y=2时P,Q重合
即x+1+x/8=4，x=4/3时，P,Q重合
PE=(√3)x/2, EF=(√3)(1-x/4), FQ=(√3)(1+x/4)
pE+EF+FQ=(√3)(x/2+1-x/4+1+x/4)=(√3)(2+x/2)
当 4/3<x≤2时，PE与QF相交于O，设重叠部分为t
t=QP
2=AQ+QB=AQ+(BQ+QP)-QP=AQ+BP-QP=1+x/8+x-QP
QP=1+x/8+x-2=9x/8-1 4/3<x≤2
OQ=PQ/√3=（9x/8-1)(√3）/3，
OP=2PQ=2(9x/8-1)√3/3
L=PE+EF+FQ-OQ-OP
=(√3)(2+x/2)-(√3)(9x/8-1)
=(√3)(3-5x/8) 4/3<x≤2
由：4/3<x≤2
-5/6>-5/8x≥-5/4
3-5/6>3-5/8x≥3-5/4
13/6>7-5/8x≥7/4
即：13√3/6>L≥7√3/4

Answer 3

解：（1）PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，
∠A=∠B=∠C=60°，设BP=x，
∴BE=x2，EC=4-x2，CF=2-x4，
AF=4-2+x4=2+x4，
∵△BEP∽△AQF，
∴AFBP=
AQBE，
∴AQ=1+x8，
∴y=1+x8（0＜x≤4）；

（2）当x+y=4，x+1+x8=4，
∴98x=3，
∴x=83．
故BP为83时，P与Q重合．

Answer 4

1、∵△ABC是等腰三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2
∵PE⊥BE，∠B=60°
∴∠BPE=30°
∴BE=1/2BP=1/2X
∴EC=BC-BE=2-1/2X
同理EF⊥AC，∠C=60°
FC=1/2EC=1/2(2-1/2X)=1-1/4X
∴AF=AC-FC=2-1+1/4X=1+1/4X
同理FQ⊥AB，∠A=60°
∴AQ=1/2AF=1/2(1+1/4X)=1/2+1/8X
∴Y=1/2+1/8X
2、当BP的长等于多少时，点P与点Q重合
那么X+Y=2
Y=1/2+1/8X
解：X=4/3
3、y=AQ=1+x/8
当x+y=2时P,Q重合
即x+1+x/8=4，x=4/3时，P,Q重合
PE=(√3)x/2, EF=(√3)(1-x/4), FQ=(√3)(1+x/4)
pE+EF+FQ=(√3)(x/2+1-x/4+1+x/4)=(√3)(2+x/2)
当 4/3<x≤2时，PE与QF相交于O，设重叠部分为t
t=QP
2=AQ+QB=AQ+(BQ+QP)-QP=AQ+BP-QP=1+x/8+x-QP
QP=1+x/8+x-2=9x/8-1 4/3<x≤2
OQ=PQ/√3=（9x/8-1)(√3）/3，
OP=2PQ=2(9x/8-1)√3/3
L=PE+EF+FQ-OQ-OP
=(√3)(2+x/2)-(√3)(9x/8-1)
=(√3)(3-5x/8) 4/3<x≤2
由：4/3<x≤2
-5/6>-5/8x≥-5/4
3-5/6>3-5/8x≥3-5/4
13/6>7-5/8x≥7/4
即：13√3/6>L≥7√3/4希望能对你有帮助