Question

设函数f(x)二阶可导 有f''(x)>0,f(0)=0证明F(x)=f(x)/x,x≠0，F(x)=f(0),x=0是单调增函数

Answer 1

只要证明：F ‘(x)=(xf '(x) -f(x))/x² >0 即xf '(x) -f(x)>0 (①)
1、.当x>0, 由拉格朗日中值定理得，f '(ξ1)=[f(x)-f(0)] / (x-0) ，其中0<ξ1<x
即f '(ξ1)=f(x) / x ，0<ξ1<x
又 f''(x)>0, 所以f '(ξ1)<f '(x) 即f '(x)>f(x) / x 从而①式成立
2、当x<0时，由拉格朗日中值定理得，f '(ξ2)=[f(x)-f(0)] / (x-0) ，其中x<ξ2<0
即f '(ξ2)=f(x) / x ，x<ξ2<0
又 f''(x)>0, 所以f '(x)<f '(ξ2) 即f '(x)<f(x) / x 从而①式成立
故总有①式成立，即F ‘(x)>0