Question

已知,对于有理数x有|x-3|+|x+2|+|z+2|+|y+3|=13-|y-1|-|z+6|,求

x+y+z的最大值和最小值
要过程

Answer 1

先移项，得|x-3|+|x+2|+|z+2|+|y+3/+|y-1|+|z+6|,=13用几何意义，
/x-3/+/x+2/表示x到3、-2的距离之和，（-2,3）区间长度为5
/z+2/+/z+6/表示z到-2、-6的距离之和，（-6，-2）区间长度为4
/y-1/+/y+3/表示y到1、-3的距离之和，（-3,1）区间长度为4.
所以x介于（-2，3）之间，z介于（-6，-2）之间，y介于（-3,1）之间即可满足方程。
xyz同时取区间左端点，即x取-2，y取-3，z取-6即得x+y+z最小值-11，同理三者同取区间右端点的最大值2.
明白否？

Answer 2

|x-3|+|x+2|+|z+2|+|y+3|+|y-1|+|z+6|=13
由|a|+|b|>=|a-b|可知（绝对值不等式）
|x-3|+|x+2|+|z+2|+|y+3|+|y-1|+|z+6|>=|x-3-x-2|+|z+2-z-6|+|y+3-y+1|=13
只能取等号，而等号满足的充要条件是-2<=x<=3,-3<=y<=1,-6<=z<=-2
xyz可以同时取边界，从而得出最值
（等号取到条件通过分类讨论得出）