Question

已知ad是三角形abc的外角eac角平分线,交bc的延长线于d点,延长da交三角形abc的外接圆于f，连接fb，fc。

Answer 1

【原题】如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC， 
（Ⅰ）求证：FB=FC； 
（Ⅱ）求证：FB²=FA·FD； 
（Ⅲ）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长。

（Ⅰ）证明：

∵AD平分∠CAE，

∴∠CAD=∠EAD，

∵CAD=∠FBC（外角等于内对角），

∠EAD=∠FAB（对顶角相等）=∠FCB（同弧所对的圆周角相等），

∴∠FBC=∠FCB，

∴FB=FC.

（Ⅱ）证明：

∵∠FAB=∠FCB，

∠FBC=∠FCB，

∴∠FAB=∠FBC，

在△AFB和△BFD中，

∠FAB=∠FBD，∠AFB=∠BFD，

∴△AFB∽△BFD（AA）,

∴FA/FB=FB/FD,

∴FB²=FA·FD.

（Ⅲ）解：

∵AB是外接圆的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAE=120°，

∴∠BAC=60°，∠ABC=30°，

∴AC=1/2AB，BC=√3/2AB=6，

∴AB=4√3，

∵AD平分∠CAE，

∴∠CAD=60°，∠D=30°，

∴∠D=∠ABD，

∴AD=AB=4√3cm.