Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB=？

Answer 1

解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上截取MN=CE
那么 四边形MDCB为正方形，
可得 △MNB≌△CEB
从而B E=BN．∠NBE=90°
∵∠ABE=45°
∴∠ABE=∠ABN，
则 △NAB≌△EAB．
设 EC=MN=y,AD=a
那么 AM=a,DE=2a-y,AE=AN=a+y
∵AD^2+DE^2=AE^2，
∴a^2+(2a-y)^2=(a+y)^2，
求得 y=2a/3
从而 MN=2a/3，BM=DC=2*AD=2a
∴tan∠AEB=tan∠BNM=BM/MN=2a/(2a/3)=3

Answer 2

过A点做AF⊥BC于F，过A点做AG⊥BE于G
令AD=a,则AB=√5 a
设EC=x
根据余弦公式，得a^2+(2a-x)^2=5a^2+4a^2+x^2-2√5 a√（4a^2+x^2）*cos45°
可解的x=2a/3
∵AG=BG=√10 a/2 BE=2√10 a/3
∴GE=BE-BG=√10 /6
tan∠AEB=AG/GE=3