Question

高数问题：sinx展开成余弦级数为什么是这样的？

高数问题：sinx展开成余弦级数为什么是这样的？用公式算不出来，分部积分积不出

Answer 1

y=sinx是奇函数。

要将一个函数展开为余弦级数，要求这个函数是偶函数才行。

所以sinx不可能展为余弦级数。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

Answer 2

y=sinx是奇函数

要将一个函数展开为余弦级数，要求这个函数是偶函数才行。

所以sinx不可能展为余弦级数。

扩展资料

某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

求极限基本方法有

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

4、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

Answer 3

按照题意可知f(x)是周期为π的偶函数，积分不是分部积分而是【积化和差】，一步解决问题。

追问

怎么做？

追答

直接按照周期为π的偶函数，展开余弦级数的公式套，除了【积化和差】没有一点技巧性。

Answer 4

傅里叶级数展开。

追问

算不出来，积分是积不出的

追答

sinx=b0+b1cos2x+b2cos4x+...+bkcos2kx+....
∫（0，π)sinxdx=b0∫（0，π）dx+Σbk∫（0，π）cos2kxdx
-cosx|（0，π)=b0x|（0，π)+（1/2k）Σbksin2kx|（0，π）
-（-1-1）=b0π，b0=2/π；
求bk，两边同时乘以cos2kx
∫（0，π）sinxcos2kxdx=（1/2）∫（0，π）[sin(2k+1)x+sin((1-2k)x]dx
=（1/2）∫（0，π）[sin(2k+1)x-sin((2k-1)x]dx
=（1/2）{-cos（2k+1）x/（2k+1）+cos（2k-1）x/（2k-1）}（0，π）
=(1/2){-[cos(2k+1)π-cos0]/(2k+1)+[cos（2k-1）π-cos0]/（2k-1）}
=（1/2）{-[-1-1]/(2k+1)+[-1-1]/（2k-1）}
=（1/2）{2/(2k+1)-2/（2k-1）}
=1/(2k+1)-1/（2k-1）
=-2/[(2k-1)(2k+1)]
∫（0，π）cos2kxcos2kxdx，设t=2x，t=0~2π，dx=（1/2）dt
=∫（0，2π）cosktcoskt（1/2）dt
=（1/2）∫（0，2π）cosktcosktdt

=（1/2）π
=π/2
傅里叶级数里面有∫（0，2π）cosktcosktdt=π；
∫（0，π）cos2kxcos2jxdx
=（1/2）∫（0，2π）cosktcosjtdt=0
傅里叶级数里面有∫（0，2π）cosktcosjtdt=0，k≠j；
-2/[(2k-1)(2k+1)]=bkπ/2
bk=（-4/π）[(2k-1)(2k+1)]
完全一致。