Question

初三数学 二次函数 难题 需要很完整的过程

二次函数y=2/3x²的图像如图所示,点A0位于坐标原点,点A1，A2，A3，…，A2010在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2010在二次函数y=2/3x²位于第一象限的图像上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…△A2009B2010A2010都为正三角形，则△A2009B2010A2010的边长=_____.

Answer 1

答案是 2010
解：
因为△A0B1A1为正三角形， 所以A0B1的直线函数表达式为 y=tg30° x
又因为是与二次函数的交点，与 y=2/3x² 的交点为
2/3x² = x* tg30° ， 求解得到 x= √3 /2 y=1/2
A0B1 =1

设 第n 个正三角形 的边 A（n-1）Bn 的截距为 S（n-1）
所以A（n-1）Bn 的直线方程为 y=tg30° x + S（n-1）
带入方程为 y=2/3x²
2/3x² -√3 /3 x + S（n-1）=0
求解得到 x有两个根，取正号的，x=-√3 {1+[（1+8S（n-1）]^0.5}/3
变长 Ln=xn/(-√3 /2) ={1+[（1+8S（n-1）]^0.5}/2
带入求解
S0=0 L1=1
S1=S0+L1 L2=[1+[（1+8)^0.5]/2=2
S2=S1+L2=3 L3=[1+[（1+8*3)^0.5]/2=3
用数学归纳法，假设Ln=n
则 Sn=S0+L1 +L2 +L3+ 。。。Ln
=0+1+2+3+。。。+n = n（n+1）/2
L（n+1) ={1+[（1+8*n*（n+1）/2）]^0.5}/2
={1+[（1+4n^2+4n）]^0.5}/2
=={1+[（1+2n+1)}/2 =n+1
所以第n条边的长度 Ln=n

Answer 2

其实这道题是有规律的，就是求出来A0A1，A1A2，你就会发现他们的地推规律了，我手边没有笔，但是可以告诉你绝对是这样的，动动手写写吧，很简单的