Question

求 lim n→∞ n2[(1/n2+1)2+2/(n2+2)2...+n/(n2+n)2]

第七题...好心的话帮忙把第6题也解了吧（lim后面是Xn）。。。被高数虐啊TT

Answer 1

6 . 均值不等式xn=1/2(xn-1 +a/xn-1) >=√a 表明xn有下界
xn - xn-1= 1/2(a/x(n-1) - x(n-1))=(a-x²(n-1))(xn-1)) 表明xn单调递减
根据单调有界准则，xn存在极限，设为A
原等式令n趋于无穷得，A=1/2(A+a/A) 解得A=√a

7.设原式为A，则A>lim n²[ 1/(n²+n)² + 2/(n²+n)² +....+n/(n²+n)²]
=lim n²(1+n)n/[2(n²+n)²]=lim n/2(n+1）=1/2
另一方面 A< lim n²[ 1/(n²)² + 2/(n²)² +....+n/(n²)²]
= lim n²(1+n)n/[2n^4]=lim (n+1)/2n= 1/2
由夹逼准则得，A=1/2

追问

1/2(a/x(n-1) - x(n-1))=(a-x²(n-1))(xn-1)) 这部怎么变的？。。没看懂 ←好吧。。看懂了

Answer 2

中括号里面的和
小于（1+2+。。+n）/(n^2+1)^2

大于（1+2+。。+n）/(n^2+n)^2

然后你就会了

第六题，用到 a+b>=2根号（a*b） 可以算出 Xn>=根号a，只要证明Xn递减，那么极限为根号a，递减应该可以把

Answer 3

用夹逼定理
S=lim (n→∞) n2[(1/n2+1)2+2/(n2+2)2...+n/(n2+n)2]

lim (n→∞) n2[(1/n2+n)2+2/(n2+n)2...+n/(n2+n)2]≤S≤lim (n→∞) n2[(1/n2+1)2+2/(n2+1)2...+n/(n2+1)2]

lim (n→∞) n2*[n*(n+1)/2]/(n2+n)2]≤S≤lim (n→∞) n2[n*(n+1)/2]/(n2+1)2

1/2≤S≤1/2
S=1/2