求 lim n→∞ n2[(1/n2+1)2+2/(n2+2)2...+n/(n2+n)2]
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6 . 均值不等式xn=1/2(xn-1 +a/xn-1) >=√a 表明xn有下界
xn - xn-1= 1/2(a/x(n-1) - x(n-1))=(a-x²(n-1))(xn-1)) 表明xn单调递减
根据单调有界准则,xn存在极限,设为A
原等式令n趋于无穷得,A=1/2(A+a/A) 解得A=√a
7.设原式为A,则A>lim n²[ 1/(n²+n)² + 2/(n²+n)² +....+n/(n²+n)²]
=lim n²(1+n)n/[2(n²+n)²]=lim n/2(n+1)=1/2
另一方面 A< lim n²[ 1/(n²)² + 2/(n²)² +....+n/(n²)²]
= lim n²(1+n)n/[2n^4]=lim (n+1)/2n= 1/2
由夹逼准则得,A=1/2
xn - xn-1= 1/2(a/x(n-1) - x(n-1))=(a-x²(n-1))(xn-1)) 表明xn单调递减
根据单调有界准则,xn存在极限,设为A
原等式令n趋于无穷得,A=1/2(A+a/A) 解得A=√a
7.设原式为A,则A>lim n²[ 1/(n²+n)² + 2/(n²+n)² +....+n/(n²+n)²]
=lim n²(1+n)n/[2(n²+n)²]=lim n/2(n+1)=1/2
另一方面 A< lim n²[ 1/(n²)² + 2/(n²)² +....+n/(n²)²]
= lim n²(1+n)n/[2n^4]=lim (n+1)/2n= 1/2
由夹逼准则得,A=1/2
追问
1/2(a/x(n-1) - x(n-1))=(a-x²(n-1))(xn-1)) 这部怎么变的?。。没看懂 ←好吧。。看懂了
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中括号里面的和
小于(1+2+。。+n)/(n^2+1)^2
大于(1+2+。。+n)/(n^2+n)^2
然后你就会了
第六题,用到 a+b>=2根号(a*b) 可以算出 Xn>=根号a,只要证明Xn递减,那么极限为根号a,递减应该可以把
小于(1+2+。。+n)/(n^2+1)^2
大于(1+2+。。+n)/(n^2+n)^2
然后你就会了
第六题,用到 a+b>=2根号(a*b) 可以算出 Xn>=根号a,只要证明Xn递减,那么极限为根号a,递减应该可以把
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用夹逼定理
S=lim (n→∞) n2[(1/n2+1)2+2/(n2+2)2...+n/(n2+n)2]
lim (n→∞) n2[(1/n2+n)2+2/(n2+n)2...+n/(n2+n)2]≤S≤lim (n→∞) n2[(1/n2+1)2+2/(n2+1)2...+n/(n2+1)2]
lim (n→∞) n2*[n*(n+1)/2]/(n2+n)2]≤S≤lim (n→∞) n2[n*(n+1)/2]/(n2+1)2
1/2≤S≤1/2
S=1/2
S=lim (n→∞) n2[(1/n2+1)2+2/(n2+2)2...+n/(n2+n)2]
lim (n→∞) n2[(1/n2+n)2+2/(n2+n)2...+n/(n2+n)2]≤S≤lim (n→∞) n2[(1/n2+1)2+2/(n2+1)2...+n/(n2+1)2]
lim (n→∞) n2*[n*(n+1)/2]/(n2+n)2]≤S≤lim (n→∞) n2[n*(n+1)/2]/(n2+1)2
1/2≤S≤1/2
S=1/2
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