非齐次线性方程组求通解

心猿意马的马
高粉答主

2019-08-11 · 醉心答题,欢迎关注
知道答主
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(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。

(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。

(3)设R(A)=R(B)=r;把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于

,即可写出含n-r个参数的通解。

扩展资料:

xj表未知量,aij称系数,bi称常数项

称为系数矩阵和增广矩阵。若x1=c1,x2=c2,…,xn=cn代入所给方程各式均成立,则称(c1,c2,…,cn)为一个解。若c1,c2,…,cn不全为0,则称(c1,c2,…,cn)为非零解。

若常数项均为0,则称为齐次线性方程组,它总有零解(0,0,…,0)。两个方程组,若它们的未知量个数相同且解集相等,则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是:

①一个方程组何时有解。

②有解方程组解的个数。

③对有解方程组求解,并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决:所给方程组有解,则秩(A)=秩(增广矩阵);若秩(A)=秩=r,则r=n时,有唯一解;r<n时,有无穷多解;可用消元法求解。

非齐次线性方程组有解时,解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解;解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时,不一定原方程组有唯一解或无穷解,事实上,此时方程组不一定有 ,即不一定有解。

克莱姆法则(见行列式)给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。

参考资料来源:百度百科-非齐次线性方程组

呈绅
2024-11-24 广告
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本回答由呈绅提供
一个人郭芮
高粉答主

推荐于2017-12-15 · GR专注于各种数学解题
一个人郭芮
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写出此方程组的增广矩阵,用初等行变换来解
1 1 0 -3 -1 2
1 -1 2 -1 0 1
4 -2 6 3 -4 8
2 4 -2 4 -7 9 第2行减去第1行,第3行减去第1行×4,第4行减去第1行×2

1 1 0 -3 -1 2
0 -2 2 2 1 -1
0 -6 6 15 0 0
0 2 -2 10 -5 5 第3行减去第2行×3,第4行加上第2行,第2行除以-2

1 1 0 -3 -1 2
0 1 -1 -1 -1/2 1/2
0 0 0 9 -3 3
0 0 0 12 -4 4 第1行减去第2行,第4行减去第3行×4/3,第3行除以9

1 0 1 -2 -1/2 3/2
0 1 -1 -1 -1/2 1/2
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 0 0 0 第1行加上第3行×2,第2行加上第3行

1 0 1 0 -7/6 13/6
0 1 -1 0 -5/6 5/6
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 0 0 0

显然x1=1,x2=0,x3=0,x4=0,x5= -1为方程的特解,
矩阵的秩为3,所以有5-3=2个解向量
取x3和x5为自由变量,得到对应齐次方程组通解为
c1*(-1,1,1,0,0)^T + c2*(7/6,5/6,0,1/3,1)^T c1、c2为常数

所以此非齐次线性方程组的通解为:
c*(-1,1,1,0,0)^T + c2*(7/6,5/6,0,1/3,1)^T+(1,0,0,0,-1)^T c1、c2为常数
更多追问追答
追问
请您告诉我您的特解是怎么得到的?特解不应该是设自由未知量为0吗?我认为特解是(13/6,,5/6,1/3,0,0)为什么不和您一致呢?我的问题在哪呢
追答
你写错了吧,(13/6,5/6,0,1/3,0)是不是,
注意特解只要能满足方程就可以了,有很多种写法的

而且你看(7/6,5/6,0,1/3,1)^T+(1,0,0,0,-1)^T
就等于(13/6,5/6,0,1/3,0)^T
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爆肝的动漫姬
2019-09-09 · TA获得超过1629个赞
知道小有建树答主
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非齐次线性方程组求通解

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