Question

非齐次线性方程组求通解

Answer 1

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R（A）＝R（B），则进一步将B化为行最简形。

（3）设R（A）＝R（B）＝r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n－r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于

，即可写出含n－r个参数的通解。

扩展资料：

xj表未知量，aij称系数，bi称常数项。

称为系数矩阵和增广矩阵。若x1＝c1，x2＝c2，…，xn＝cn代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn）为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非零解。

若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是：

①一个方程组何时有解。

②有解方程组解的个数。

③对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

克莱姆法则（见行列式）给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。

参考资料来源：百度百科-非齐次线性方程组

Answer 2

写出此方程组的增广矩阵，用初等行变换来解
1 1 0 -3 -1 2
1 -1 2 -1 0 1
4 -2 6 3 -4 8
2 4 -2 4 -7 9 第2行减去第1行，第3行减去第1行×4，第4行减去第1行×2
～
1 1 0 -3 -1 2
0 -2 2 2 1 -1
0 -6 6 15 0 0
0 2 -2 10 -5 5 第3行减去第2行×3，第4行加上第2行，第2行除以-2
～
1 1 0 -3 -1 2
0 1 -1 -1 -1/2 1/2
0 0 0 9 -3 3
0 0 0 12 -4 4 第1行减去第2行，第4行减去第3行×4/3，第3行除以9
～
1 0 1 -2 -1/2 3/2
0 1 -1 -1 -1/2 1/2
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 0 0 0 第1行加上第3行×2，第2行加上第3行
～
1 0 1 0 -7/6 13/6
0 1 -1 0 -5/6 5/6
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 0 0 0

显然x1=1，x2=0，x3=0，x4=0，x5= -1为方程的特解，
矩阵的秩为3，所以有5-3=2个解向量
取x3和x5为自由变量，得到对应齐次方程组通解为
c1*(-1，1，1，0，0)^T + c2*(7/6，5/6，0，1/3，1)^T c1、c2为常数

所以此非齐次线性方程组的通解为：
c*(-1，1，1，0，0)^T + c2*(7/6，5/6，0，1/3，1)^T+(1，0，0，0，-1)^T c1、c2为常数

追问

请您告诉我您的特解是怎么得到的？特解不应该是设自由未知量为0吗？我认为特解是（13/6,,5/6,1/3,0,0）为什么不和您一致呢？我的问题在哪呢

追答

你写错了吧，(13/6，5/6，0，1/3，0)是不是，
注意特解只要能满足方程就可以了，有很多种写法的

而且你看(7/6，5/6，0，1/3，1)^T+(1，0，0，0，-1)^T
就等于(13/6，5/6，0，1/3，0)^T

你写错了吧，
特解应该是(13/6，5/6，0，1/3，0)^T
注意特解是可以有很多种写法的，只要可以满足方程就行了
而且(13/6，5/6，0，1/3，0)^T就等于
(7/6，5/6，0，1/3，1)^T+(1，0，0，0，-1)^T

追问

是的，着急写错了，我以为，特解只能取

这行数呢，这样的话就是我取一组数，满足条件即可，然后给自由未知量正确的满足选取的特解数值就可，是不？

追答

是的，特解就是取一组数值满足方程就可以了，可以有很多种写法的

Answer 3

非齐次线性方程组求通解