Question

椭圆中的最值问题

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左，右焦点为F1、F2，点p为椭圆上的任意一点，求|PF1|·|PF2|的最大小值

Answer 1

由于椭圆的性质，我们知道|PF1|+|PF2|=2c,其中c=根号(a^2+b^2)
并且c-a<={|PF1|，|PF2|}<=a+c
那么我们可以知道|PF1|·|PF2|=1/4[(|PF1|+|PF2|)^2-(|PF1|-|PF2|)^2]
=c^2-(1/4)*(|PF1|-|PF2|)^2
根据已经知道的a，b的范围，可以得到最大值是|PF1|=|PF2|=c时为c^2
最小值为|PF1|=c-a,|PF2|=c+a（或相反）时，最小值为b^2

追问

c-a<={|PF1|，|PF2|}<=a+c
是椭圆的性质吗？

追答

你想它最大是从这头的焦点到那头的顶点吧，最短是这头焦点到x轴同一边的顶点吧。

Answer 2

我告诉你方法吧，其实这道题考的就是不等式问题，你先求出远点到焦点的距离，
我们暂且设丨pf1丨为h，丨pf2丨为k |pf1|·|pf2|=hk
因为 hk≤（h²+k²）/2.所以hk max是h和k相等的时候。
最小值我还是不会求，但是我知道最小值是 p点在x轴上，具体怎么证明我是不会了

Answer 3

x^2/4+y^2=1
设长方形的在第一象限的顶点为A(2cosa,sina)
则长方形的长=4cosa
长方形的宽=2sina
长方形面积=4sin2a
当sin2a=1时面积取最大值
2a=90
a=45
长方形的长=4cosa=2根2
长方形的宽=2sina=根2