Question

初三数学【解直角三角形】

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=根号3 ，AB=6。在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°
问：
1.当点E是AB的中点时，求线段DF的长度
2.若射线EF经过点C求AE的长.

Answer 1

本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．

Answer 2

1.
AD=根号3， AE=AB/2=3
则：角AED=30度
所以：角EDF=角AED=30度
角EFD=180度-角DEF-角EDF=30度=角EDF
所以：三角形DEF为等腰三角形
作EG垂直DF于G
则：AEGD为矩形
DG=AE
而DG=GF
所以：DF=2DG=2AE=6

2.
此时，F与C点重合
作BH垂直DC于H
则：DH=AB=6, BH=AD=根号3
角CBH=角EBC-90度=30度
所以：HC=1
DC=DH+HC=7
三角形DEC的面积=(1/2)DC*AD=(7/2)根号3
设AE=x
则：DE=根号(x^2+3)
EC=根号[(7-x)^2+3]
作CI垂直DE延长线于I
则：角CEI=180度-角DEF=60度
所以：CI=[(根号3)/2]*EC=[(根号3)/2]*根号[(7-x)^2+3]
三角形DEF面积=(1/2)DE*CI=[(根号3)/4]*根号{[(7-x)^2+3](x^2+3)}=(7/2)根号3
[(7-x)^2+3](x^2+3)=196
x^4-14x^3+55x^2-42x-40=0
(x^4-2x^3)-(12x^3-24x^2)+(31x^2-62x)+(20x-40)=0
x^3*(x-2)-12x^2*(x-2)+31x*(x-2)+20(x-2)=0
(x-2)(x^3-12x^2+31x+20)=0
(x-2)(x-5)(x^2-7x-4)=0
x1=2, x2=5, x3=(1/2)(7+根号65)>6，舍弃，x4=(1/2)(7-根号65)<0，舍弃
所以：AE=2或5

Answer 3

1：AD=AD=根号3 ，AE=3,推出∠AED=30度，则∠EDC=30度，于是∠EFD也=30度。于是三角形DEF为等腰三角形、过e做DC的垂线与O，则DO=OF=AE=AB/2,得出DF=AB=6
2:由∠BCD=60度，AD=根号3，可得出DC=7,BC=2,设AE=x，EC=y，则由三角形DEC相似于三角形BEC,得出7*（6-x）=y^2；7：（3+x^2）开方=y：2。解出x=2

Answer 4

1.当点E是AB的中点时，求线段DF的长度
求解：过E作DC的垂直线，垂足为M，
因为 ABCD是直角梯形，所以 DM= AE = 3
AD=EM = 根号3， DM=2*根号3
从而推导出 ∠DEM= 60° ，
从而推导出 ∠FEM= 120° -60° =60°
EM= 根号3 MF= 2*根号3
从而 DF= DM+MF =4*根号3

2 若射线EF经过点C求AE的长
解： ∵，∠B=120° 求的 BC = 2，
DC=AB+根号3 *tg 30° =7