Question

【悬赏】大学学习的概率论与数理统计，几个概率题目，初学者求解，谢谢！

1、设随机变量X~N(μ,σ^2)，且Φ(3)=0.9987，则p{|X-μ|<3σ}=_____。
2、设随机变量X~N(0,1)，对给定的α(0<α<1)，数Zα(分位点,α是右下角角标)满足P{X>Zα}=α，若P{|X|<x}=α，则x等于[ ]。
A.Z(α/2) B.Z((1-α)/2) C.Z(1-α/2) D.Z(1-α )
3、设随机变量X的概率密度f(x)满足f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数α有[ ]。
A.F(-α)=1-∫f(x)dx(上限a，下限0)
B.F(-α)=1/2-∫f(x)dx(上限a，下限0)
C.F(-α)=F(a)
D.F(-α)=2F(a)-1
4、设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若f(x)={X<=0时，f(x)=a*f1(x)。x>0时，f(x)=a*f2(x)。(a>0,b>0)}分段函数。则a,b应满足[ ]。
A.2a+3b=4 B.3a+2b=4 C.a+b=1 D.a+b=2
答案：
1.0.9974
2.B
3.B
4.A
求解过程，谢谢！若有帮助，追加悬赏！

Answer 1

1.固定公式p{|X-μ|<3σ}=p{|X-μ|/σ<3}=2Φ(3)-1=0.9974
2.上分位数概念。
α=P{|X|<x}=1-P{|X|>=x}=1-2P{X>=x}
因此P{X>=x}=(1-a)/2
x=Z((1-α)/2)
3.定理，若概率密度f(x)满足f(-x)=f(x)，即概率密度函数是偶函数，则分布函数F(0)=1/2
F(-α)=∫(-∞,-a)f(x)dx=∫(-∞,0)f(x)dx+∫(0,-a)f(x)dx=1/2-∫(0,a)f(x)dx=1/2-∫f(x)dx(下限0，上限a)
4，若要使f(x)为密度函数，那么∫(-∞,+∞)f(x)dx一定为1.
∫(-∞,0)f1(x)dx=1/2, ∫(0,+∞)f2(x)dx=∫(0,3)f2(x)dx=3/4
∫(-∞,+∞)f(x)dx=∫(-∞,0)af1(x)dx+∫(0,+∞)bf2(x)dx=a/2+3b/4=1
因此2a+3b=4

不明白可以追问，如有帮助，请选为满意回答！

Answer 2

1、p{|X-μ|<3σ}=2Φ(3)-1=0.9974 p{|X-μ|/σ<3}=p{|X-μ|<3σ}
2、和1用的公式一样P{|X|<x}=2P{X>x}-1
3、F(-α)=∫f(x)dx(上限-a，下限负无穷)
+∫f(x)dx(上限0，下限-a)=1/2 (用奇偶性化简成∫f(x)dx(上限a，下限0)
4、f1(x)为标准正态分布的概率密度，半边积分1/2，f2(x)为[-1,3]上均匀分布的概率密度
1/2a+3/4b=1
你重点是P{|X|<x}=2P{X>x}-1没搞清楚