Question

如图在矩形ABCD中,点O在对角线AC上

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AB：BC=√2/2,DE=1，求⊙O的半径

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

⑴连接OE，
∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠敏做ACB=∠DAC，∠DCE+∠DEC=90°，
∵OA=OE，∴∠OEA=∠EAC=∠ACB=∠DCE，
∴∠OEA+∠DEC=90°，∴∠OEC=90°，
∴CE是⊙O的切线。
⑵∵∠ACB=∠DCE，∠B=∠D=90°，
∴ΔABC∽ΔEDC，
∴DE/CD=AB/BC=√2/2，又DE=1，
∴梁尺CD=√2=AB，∴BC=2，
∴AC=√(AB^2+BC^2)=√6，CE=√(DE^2+CD^2)=√3，
在RTΔOCE中，CO=AC-r，OE=r，
∴r^2+(√6-r)^2=(√3)^2
2r^2-2√6r+3=0，
(√2r-√桥渣衡3)^2=0，r=√3/√2=√6/2。

Answer 2

：（1）直线CE与⊙O相切．
理由：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB，
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC，
又∠DCE=∠ACB，
∴∠DEC+∠DAC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠DAC，
∴∠DEC+∠OEA=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥EC，
∴直线CE与⊙O相切；汪纯

（2）∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，
∴BCDC=
ABDE，…
又CD=AB=2，困轮咐BC=2，
∴DE=1
根据勾股定理得EC=3，
又AC=AB2+BC2=6，
设OA为x，则（3）2+x2=（6-x）2，
解得x=64，
∴⊙O的半径为桐碧64．