Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．

（1）求EF的长度；

（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；
（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．

Answer 1

（1）求EF的长度（2）作CD⊥AB,垂足为D，CD与BE相交于G,试说明：CE=CG（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形
(1)
设
EF=x
而且EF=EC
有BC*CE
+
EF*AB
=
AC*CB
所以
18x
=
48
得到
x=8/3
(2)
∠CFG
=
90
-
∠CBE
∠CGF=
∠A
+∠CBE
而
90
=
∠A
+∠CBE*2
所以三角形CFG等腰
所以
CE=CG
(3)
CE=EF,
刚才已经CE=CG
而且
CF垂直EG,
所以
是菱形

Answer 2

：（1）∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°，EF⊥AB，垂足为F，
∴EF=CE．
在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90°，
BE=BEEF=EC，
∴△BFE≌△BCE，
∴BF=BC=8．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴AF=AB-BF=2．
设EF=x，则CE=x，AE=6-x，
在直角△AEF中，由勾股定理，得AE2=EF2+AF2，
∴（6-x）2=x2+22，
解得x=8/3

（2）∵在△BCE中，∠CEB=90°-∠CBE，
∠CGE=∠DGB=90°-∠DBG，
∠CBE=∠DBG，
∴∠CEB=∠CGE，
∴CE=CG；

（3）∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，
∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=CG，
∴▱CEFG是菱形．