Question

二次函数

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值

Answer 1

解：（1） 带入O点得到 C=0
带入B点得到 0=a*2^2+b*2=4a+2b （1）
带入A点得到 -4=4a-2b （2）
求解得到 a= -0.5 ， b=1 ，c =0

（2）因为O点与B点是关于对称轴对称的点，
所以OM=MB，
要是得AM+OM取最小值，只需要AM+MB最小即可，
又因为A到M的距离最小，只能直线段最小。
最小距离={ [2-（-2）]^2+ [0-（-4）]^2}^0.5 = 4 √2
所以AM+OM的最小值为 4 √2

Answer 2

(1)①a*(-2)^2+b*(-2)+c=-4 即 4a-2b+c= -4 【将A(-2,-4)代入式子y】
②c=0 【将O(0,0)代入式子y】
③a*2^2+2b+c=0 即4a+2b+c=0 【将B(2,0)代入式子y】
由①②③可得a= -1/2 , b= 1, c=0
所以y= -1/2x^2+x

(2)由(1)知y= -1/2x^2+x = -1/2(x^2-2x+1)+1/2 = -1/2(x-1)^2+1/2
即抛物线关于直线x=1对称
O、B关于对称轴x=1对称 ，所以OM=BM
即 AM+OM=AM+BM
要求AM+OM的最小值即求AM+BM的最小值
又两点间直线最短
连接A、B，交直线x=1于M点，
所以此时M点即为所求的令AM+OM最小值的点
则AM+OM的最小值=|AB|=√[(-2-2)²+(-4-0)²]=4√2

Answer 3

（1）把坐标代进函数得y=-1/2x2+x（2）对称轴x=-b/2a=1，依图可得连接BA交对称轴于M，连OM，此时AM+OM有最小值，且AM+OM=AB=根号4^2+4^2=根号32=4根号2