Question

如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为

这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由

Answer 1

虽然没有图，这里随便说说吧
(1)“抛物线三角形”一定是等腰三角形，因为抛物线是轴对称图形，抛物线与X轴的两个交点关于抛物线对称轴对称，定点到两交点的距离相等，所以是等腰三角形。
(2)因为抛物线y=-x2+bx（b＞0）过原点，设抛物线顶点为B点，抛物线与X轴的另一交点为A点，若“抛物线三角形”是等腰直角三角形，△OAB中，∠OBA=90°，
抛物线的对称轴是x=b/2，B点坐标为（b/2，b/2）代入函数表达式，b/2=-(b/2)的平方+b*b/2，算出b=2
(3)存在，若要O点成为矩形ABCD的对称中心，则有OA=OB，那么△ABO就是等边三角形了，抛物线对称轴为 x=b'/2，则抛物线顶点坐标为（b'/2，b'/2 * tg60°)。
代入函数表达式算出b'=2√3/(2√3 - 1)

Answer 2

(1)“抛物线三角形”一定是等腰三角形，因为抛物线是轴对称图形，抛物线与X轴的两个交点关于抛物线对称轴对称，定点到两交点的距离相等，所以是等腰三角形。
(2)因为抛物线y=-x2+bx（b＞0）过原点，设抛物线顶点为B点，抛物线与X轴的另一交点为A点，若“抛物线三角形”是等腰直角三角形，△OAB中，∠OBA=90°，
抛物线的对称轴是x=b/2，B点坐标为（b/2，b/2）代入函数表达式，b/2=-(b/2)的平方+b*b/2，算出b=2
(3)存在，若要O点成为矩形ABCD的对称中心，则有OA=OB，那么△ABO就是等边三角形了，抛物线对称轴为 x=b'/2，则抛物线顶点坐标为（b'/2，b'/2 * tg60°)。
代入函数表达式算出b'=2√3/(2√3 - 1)

Answer 3

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/24517c90-d0b8-4f53-8739-950a0f9e9ba2?a=1

Answer 4