Question

曲线积分的一个问题

C为分段光滑简单闭曲线，向量n为C的外法线向量，D为C所围成的闭区域，函数u(x,y)在D上有连续二阶偏导数。
后面的具体问题和我的问题无关，就不打了。

∂u/∂n ds= ∂u/∂x cos(向量n,x)ds+∂u/∂y cos(向量n,y)ds

由题干，书上写了下面这个式子，我不知道是什么意思，求解答
向量n和x、y有啥关系，为什么可以这样转换啊？

Answer 1

这个就是方向导数的定义了， 你可能没有真正明白方向导数的含义。

只是知道对X 或对Y 求导 即在X轴或Y轴上的增量计算

当挪到空间中去时就变成向量导数了 此时通过对X 及Y 的求道来转换 因为我们熟悉这个

及转换也就是将向量在X Y 轴投影 希望你看得懂

上式的ds暂时没什么用处 估计以后步骤会用到

追问

∂u/∂n这个式子是什么意思呢，一个函数对一个曲线的法向量求偏导。还有这个等式左右转换到底是从求什么变成求什么呢？
你说的投影是把它看做微元吗？朋友能更详细点讲下么，看不懂啊~~~

追答

我们平常说的对X Y 或者Z 求导 其实都是指对X Y Z轴的

现在对一个向量求导指把我们平常对基坐标改成空间中的任意向量了

而我们还是要用我们的基坐标算 现在它既不是X轴也不是Y轴 我们不好算

还是得转化到X Y轴上去

追问

转化的这一步是怎么进行的啊
向量n可以投影成cosα/x，cosβ/y
那偏导数是怎么转化坐标的呢？

追答

偏导数就是把X Y 其中一个看成常数 和方向导数不一样 方向导数你不懂？