Question

在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以AB为直径的圆O交BC于点E,连接DE

在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以AB为直径的圆O交BC于点E,连接DE，过点B作BP∥DE，交圆O于点P，连接CP,OP，OP交AC于点G
1，求证：BD=DC吗？说明理由
2，求∠BOP的度数
3，求证，CP是圆O的切线

Answer 1

证明：
连AD,交OP于点Q
（1）∵以AB为直径的圆O交BC于点D
∴∠ADB=90º,即AD⊥BC
∵AB=AC,∠A=30°
∴∠ABC=∠ACB=75°；AD是等腰三角形底边上的高,AD也是BC的中线,即BD=CD
（2）∵以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E
∴∠ABC+∠AED=180º，∠CED+∠AED=180º
∴∠ABC=∠CED
∴∠CDE=180º-∠CED-∠ACB=180º-75º-75º=30º
∵BP∥DE
∴∠CBP=∠CDE=30º
∴∠OBP=∠ABC-∠CBP=75º-30º=45º
∵OB=OP
∴∠OPB=45º
∴∠BOP=180º-∠OBP-∠OPB=180º-45º-45º=90º
(3)∵AD是等腰三角形底边上的高,AD也是角平分线,即∠BAD=∠CAD
∵∠A=30°,∠BOP=90º
∴∠PAQ=30º=∠CBP ①
∵∠BOP=90º,OA=OB
∴PA=PA ②
∵AQ=OA/cos∠A/2=AB/(2cos15º),BC=2BD=2ABsin∠A/2=2ABsin15º
∵2sin15º*2cos15º=2sin30º=1即2sin15º=1/(2cos15º)
∴AQ=BC ③
∴由①②③得△PAQ≌△PBC
∴∠BPC=∠APQ=45º
∴∠OPC=∠OPB+∠BPC=45º+45º=90º
∴CP是圆O的切线

Answer 2

24．（1）BD=DC
连结AD，∵AB是直径,∴∠ADB=90°
∵AB=AC，∴BD=DC
（2）∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线 ∴∠BAD=∠CAD ∴弧BD与弧DE是等弧，
∴BD=DE
∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°
∴∠DCE=∠ABC=(180°－30°)=75°，∴∠DEC=75°
∴∠EDC=180°－75°－75°=30°
∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°－30°=45°
∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°
（3）证法一：设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°
在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴OG/AG=1/2
又∵OP/AC=OP/AB=1/2，∴OP/AC=OG/AG，∴OG/AG=GP/GC
又∵∠AGO=∠CGP
∴△AOG∽△CPG
∴∠GPC=∠AOG=90°∴CP是⊙的切线
证法二：过点C作CH⊥AB于点H，则∠BOP=∠BHC=90°，∴PO∥CH
在Rt△AHC中，∵∠HAC=30°，∴CH=1/2*AC
又∵，∴PO=CH，∴四边形CHOP是平行四边形
∴四边形CHOP是矩形
∴∠OPC=90°，∴CP是⊙的切线
这答案是小女子我找来的，不知道好不好，但我想应该没有错的了