Question

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=e^-(x+y) x>0 y>0, 0其他。

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=e^-(x+y) x>0 y>0, 0其他。（1）分别求X,Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立，为什么？
（2）P(X<1，Y<1)

Answer 1

f(x)=∫[0,+∞) f(x,y)dy
=∫[0,+∞) e^(-x-y)dy
=-e^(-x-y)[0,+∞)
=e^(-x)
同理
f(y)=∫[0,+∞) f(x,y)dx
=∫[0,+∞) e^(-x-y)dx
=-e^(-x-y)[0,+∞)
=e^(-y)
f(x)*f(y)=f(x,y)
因此x,y独立

P(X<1，Y<1)

=∫[0,1]∫[0,1] f(x,y)dydx
=∫[0,1] f(x)dx*∫[0,1] f(y)dy
=e^(-x)[0,1]*e^(-y)[0,1]
=(1-1/e)^2

追问

请问∫[0,+∞) e^(-x-y)dy=-e^(-x-y)[0,+∞)=e^(-x)这一步是怎么算的
还有这一步e^(-x)[0,1]*e^(-y)[0,1]=(1-1/e)^2是怎么得到的

追答

代入数值呀。把积分上下限代入运算啊