Question

在等差数列{an}中，a4=10,a1+a2+a3=12,令bn=an•a(n+1),数列{1/bn}的前n项和为Tn.

求An通项。
若T1，Tm，T16成等比数列，求m

Answer 1

解：设数列{an}的公差为d，
∵a3=7，a1+a2+a3=12
∴a1+3d=10，3a1+3d=12
解得 a1=1，d=3
∴数列{an}的通项公式为：an=3n-2（n∈N*）
∵bn=an an-1，
∴bn=（3n-2）（3n+1）
∴1/bn=1/3[1/(3n-2)-1/(3n+1)]
∴数列{1/bn}的前n项和Tn=1/3[1-1/4+1/4-1/7+…+1/(3n-5)-1/(3n-2)+1/(3n-2)-1/(3n+1)]
=1/3[1-1/(3n+1)]
因为T1，Tm，T16成等比数列
Tm^2=T1 T16
即{1/3[1-1/(3m+1)]}^2=1/3×3/4×1/3×48/49
解得m=2

犹豫了一会才决定给你答的，呵呵，因为过程有点不好输入，久等了，望采纳，若不懂，请追问。

Answer 2

因为an为等差数列，所以
a2=a1+c,
a3=a2+c=a1+2c
a4=a1+3c

依题意：a1+3c=10
a1+a1+c+a1+2c=12,a1+c=4

解得：a1=1,c=3
前四项为：1，4，7，10
an的通式为：an=1+3(n-1)=3n-2

bn=(3n-2)(3(n+1)-2)=(3n-2)(3n+1)
n=1 T1=1/b1=1/4
n=2 T2=T1+1/b2=2/7
n=3 T3=T2+1/b3=3/10
n=4 T4=T3+1/b4=4/13

设：n=K时 ，Tk=k/(3k+1)
T(k+1)=Tk+1/(b(k+1))=k/(3k+1)+1/((3(k+1)-2)(3(k+1)+1))=k/(3k+1)+1/((3k+1)(3k+4))
=(k(3k+4)+1)/(3k+1)(3k+4)=((3k+1)(k+1))/((3k+1)(3k+4))=(k+1)/(3(k+1)+1)

因此，Tn的通式为： Tn=n/(3n+1)

T1=1/4
T16=16/49

Tm²=T1*T16

(m/(3m+1))²=1/4*16/49

解得：m=-2/13或m=2
取整数，m=2

(三个数为：1/4,2/7,16/49)