Question

x的1/x次方的导数等于多少?

Answer 1

用对数求导法：

记y=x^(1/x)，

取对数，得

lny=(1/x)lnx，

两边关于x求导，得

(1/y)*y'=-x^(-2)lnx+(1/x)*(1/x)

=x^(-2)(1-lnx)，

故所求的导数是

(1/y)*y'=-x^(-2)lnx+(1/x)*(1/x)

=y*[x^(-2)(1-lnx)]

=x^[(1/x)-2](1-lnx)。

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：

表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。

Answer 2

x^(1/x)的导数是-(1/x^3)x^(1/x-1)

Answer 3

设 y=x^u, u=1/x
y'=(x^u)'(1/x)'=[ux^(u-1)](-1/x^2)=(1/x)x^[(1/x)-1](-1/x^2)=-(1/x^3)x^[(1/x)-1]

Answer 4

　　用对数求导法：记
　　y = x^(1/x)，
取对数，得
　　lny = (1/x)lnx，
两边关于 x 求导，得
　　(1/y)*y' = -x^(-2)lnx + (1/x)*(1/x)
= x^(-2)(1 - lnx)，
故所求的导数是
　　(1/y)*y' = -x^(-2)lnx + (1/x)*(1/x)
= y*[x^(-2)(1 - lnx)]
= x^[(1/x) - 2](1 - lnx)。