Question

设f(x)＝2x＋sinx(＋∝＜x＜∝),证明f(x)为单调增函数

如何用定义证明？谢了

Answer 1

设 x1<x2，则
f(x1) - f(x2) = 2x1+sinx1 - 2x2 - sinx2 = 2(x1-x2) + 2cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
≤ 2(x1-x2) + 2|sin[(x1-x2)/2]| ≤ 2(x1-x2) + 2|(x1-x2)/2| = 2(x1-x2) - (x1-x2) = x1-x2 < 0，
所以 f(x1)<f(x2) ，
因此函数在 R 上为增函数。

追问

请问2cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]≤2|sin[(x1-x2)/2]|是如何得到的？对这些放缩不是很清楚，可以详细点吗？

请问2cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]≤2|sin[(x1-x2)/2]|是如何得到的？对这些放缩不是很清楚，可以详细点吗？

追答

首先，x ≤ |x| ，
其次，|cosx| ≤ 1，
最后，|sinx| ≤ |x| 。