Question

求证，多谢！ A、B是n阶实对称正定矩阵，求证：若A-B正定，则B的逆矩阵-A的逆矩阵正定

Answer 1

取可逆阵C使得A=CC^T，那么A-B正定等价于I-C^{-1}BC^{-T}正定，再分析后者的特征值即可。

更省事的做法是
B^{-1}-A^{-1} = A^{-1}(A-B)A^{-1} + A^{-1}(A-B)B^{-1}(A-B)A^{-1}，
但不容易想到。